Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3233 / 5281
↖ ↑ ↗
← S 46.103709°
W 37.924805°		 ← 3 388.08 m → S 46.103709°
W 37.880859°		 →
↑
3 387.08 m
↓
↑
3 387.08 m
↓
S 46.134170°
W 37.924805°		 ← 3 386.20 m →
11 472 506 m²		 S 46.134170°
W 37.880859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39471435546875 y=0.64471435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39471435546875 × 213)
    floor (0.39471435546875 × 8192)
    floor (3233.5)     		tx = 3233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64471435546875 × 213)
    floor (0.64471435546875 × 8192)
    floor (5281.5)     		ty = 5281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3233 / 5281 ti = "13/3233/5281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3233/5281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3233 ÷ 213
    3233 ÷ 8192     		x = 0.3946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5281 ÷ 213
    5281 ÷ 8192     		y = 0.6446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.210693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66191271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.289306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.908883616796265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66191271} λ = -0.66191271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908883616796265))-π/2
    2×atan(0.402973846245089)-π/2
    2×0.383067405820257-π/2
    0.766134811640514-1.57079632675     		φ = -0.80466152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66191271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.924805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80466152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.103709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3233 KachelY 5281 -0.66191271 -0.80466152 -37.924805 -46.103709
    Oben rechts KachelX + 1 3234 KachelY 5281 -0.66114572 -0.80466152 -37.880859 -46.103709
    Unten links KachelX 3233 KachelY + 1 5282 -0.66191271 -0.80519316 -37.924805 -46.134170
    Unten rechts KachelX + 1 3234 KachelY + 1 5282 -0.66114572 -0.80519316 -37.880859 -46.134170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80466152--0.80519316) × R
    0.000531639999999944 × 6371000     		dl = 3387.07843999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80466152--0.80519316) × R
    0.000531639999999944 × 6371000     		dr = 3387.07843999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66191271--0.66114572) × cos(-0.80466152) × R
    0.000766989999999912 × 0.693355182068798 × 6371000     		do = 3388.07544476552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66191271--0.66114572) × cos(-0.80519316) × R
    0.000766989999999912 × 0.692971986445446 × 6371000     		du = 3386.20296192325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80466152)-sin(-0.80519316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693355182068798-0.692971986445446)×R²
    abs(-0.66114572--0.66191271)×0.000383195623351762×R²
    0.000766989999999912×0.000383195623351762×6371000²
    0.000766989999999912×0.000383195623351762×40589641000000     		ar = 11472506.4391416m²