Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 324 / 196
↖ ↑ ↗
← N 38.822591°
E 47.812500°		 ← 60.912 km → N 38.822591°
E 48.515625°		 →
↑
61.146 km
↓
↑
61.146 km
↓
N 38.272689°
E 47.812500°		 ← 61.380 km →
3 738.89 km²		 N 38.272689°
E 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6337890625 y=0.3837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6337890625 × 29)
    floor (0.6337890625 × 512)
    floor (324.5)     		tx = 324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3837890625 × 29)
    floor (0.3837890625 × 512)
    floor (196.5)     		ty = 196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 324 / 196 ti = "9/324/196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/324/196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 324 ÷ 29
    324 ÷ 512     		x = 0.6328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 196 ÷ 29
    196 ÷ 512     		y = 0.3828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6328125 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3828125 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83448555} λ = 0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736310778164063))-π/2
    2×atan(2.08821738911978)-π/2
    2×1.12418918173392-π/2
    2.24837836346783-1.57079632675     		φ = 0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 324 KachelY 196 0.83448555 0.67758204 47.812500 38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 325 KachelY 196 0.84675739 0.67758204 48.515625 38.822591
    Unten links KachelX 324 KachelY + 1 197 0.83448555 0.66798443 47.812500 38.272689
    Unten rechts KachelX + 1 325 KachelY + 1 197 0.84675739 0.66798443 48.515625 38.272689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67758204-0.66798443) × R
    0.00959761000000003 × 6371000     		dl = 61146.3733100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67758204-0.66798443) × R
    0.00959761000000003 × 6371000     		dr = 61146.3733100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83448555-0.84675739) × cos(0.67758204) × R
    0.01227184 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 60912.3546382429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83448555-0.84675739) × cos(0.66798443) × R
    0.01227184 × 0.785071713613263 × 6371000     		du = 61379.9625718403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67758204)-sin(0.66798443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.785071713613263)×R²
    abs(0.84675739-0.83448555)×0.00598087301371053×R²
    0.01227184×0.00598087301371053×6371000²
    0.01227184×0.00598087301371053×40589641000000     		ar = 3738894540.99478m²