Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 324 / 452
↖ ↑ ↗
← S 79.687184°
E 47.812500°		 ← 13.997 km → S 79.687184°
E 48.515625°		 →
↑
13.912 km
↓
↑
13.912 km
↓
S 79.812302°
E 47.812500°		 ← 13.829 km →
193.560 km²		 S 79.812302°
E 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6337890625 y=0.8837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6337890625 × 29)
    floor (0.6337890625 × 512)
    floor (324.5)     		tx = 324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8837890625 × 29)
    floor (0.8837890625 × 512)
    floor (452.5)     		ty = 452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 324 / 452 ti = "9/324/452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/324/452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 324 ÷ 29
    324 ÷ 512     		x = 0.6328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 452 ÷ 29
    452 ÷ 512     		y = 0.8828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6328125 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8828125 × 2 - 1) × π
    -0.765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83448555} λ = 0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40528187533594))-π/2
    2×atan(0.0902400555785128)-π/2
    2×0.0899962958339908-π/2
    0.179992591667982-1.57079632675     		φ = -1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 324 KachelY 452 0.83448555 -1.39080374 47.812500 -79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 325 KachelY 452 0.84675739 -1.39080374 48.515625 -79.687184
    Unten links KachelX 324 KachelY + 1 453 0.83448555 -1.39298746 47.812500 -79.812302
    Unten rechts KachelX + 1 325 KachelY + 1 453 0.84675739 -1.39298746 48.515625 -79.812302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39080374--1.39298746) × R
    0.00218372000000011 × 6371000     		dl = 13912.4801200007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39080374--1.39298746) × R
    0.00218372000000011 × 6371000     		dr = 13912.4801200007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83448555-0.84675739) × cos(-1.39080374) × R
    0.01227184 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 13996.6587185795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83448555-0.84675739) × cos(-1.39298746) × R
    0.01227184 × 0.17687341280078 × 6371000     		du = 13828.6519172866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39080374)-sin(-1.39298746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.17687341280078)×R²
    abs(0.84675739-0.83448555)×0.00214886718504062×R²
    0.01227184×0.00214886718504062×6371000²
    0.01227184×0.00214886718504062×40589641000000     		ar = 193559617.445032m²