Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 325 / 451
↖ ↑ ↗
← S 79.560546°
E 48.515625°		 ← 14.167 km → S 79.560546°
E 49.218750°		 →
↑
14.082 km
↓
↑
14.082 km
↓
S 79.687184°
E 48.515625°		 ← 13.997 km →
198.291 km²		 S 79.687184°
E 49.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6357421875 y=0.8818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6357421875 × 29)
    floor (0.6357421875 × 512)
    floor (325.5)     		tx = 325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8818359375 × 29)
    floor (0.8818359375 × 512)
    floor (451.5)     		ty = 451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 325 / 451 ti = "9/325/451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/325/451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 325 ÷ 29
    325 ÷ 512     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 451 ÷ 29
    451 ÷ 512     		y = 0.880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.880859375 × 2 - 1) × π
    -0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3930100290332))-π/2
    2×atan(0.0913542905476178)-π/2
    2×0.0911014199096706-π/2
    0.182202839819341-1.57079632675     		φ = -1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 325 KachelY 451 0.84675739 -1.38859349 48.515625 -79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 326 KachelY 451 0.85902924 -1.38859349 49.218750 -79.560546
    Unten links KachelX 325 KachelY + 1 452 0.84675739 -1.39080374 48.515625 -79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 326 KachelY + 1 452 0.85902924 -1.39080374 49.218750 -79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38859349--1.39080374) × R
    0.00221024999999986 × 6371000     		dl = 14081.5027499991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38859349--1.39080374) × R
    0.00221024999999986 × 6371000     		dr = 14081.5027499991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.85902924) × cos(-1.38859349) × R
    0.01227185 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 14166.6502079678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.85902924) × cos(-1.39080374) × R
    0.01227185 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 13996.6701240889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38859349)-sin(-1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.179022279985821)×R²
    abs(0.85902924-0.84675739)×0.00217410440472024×R²
    0.01227185×0.00217410440472024×6371000²
    0.01227185×0.00217410440472024×40589641000000     		ar = 198291017.076864m²