Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 325 / 69
↖ ↑ ↗
← N 78.490552°
E 48.515625°		 ← 15.600 km → N 78.490552°
E 49.218750°		 →
↑
15.694 km
↓
↑
15.694 km
↓
N 78.349410°
E 48.515625°		 ← 15.789 km →
246.310 km²		 N 78.349410°
E 49.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6357421875 y=0.1357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6357421875 × 29)
    floor (0.6357421875 × 512)
    floor (325.5)     		tx = 325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1357421875 × 29)
    floor (0.1357421875 × 512)
    floor (69.5)     		ty = 69
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 325 / 69 ti = "9/325/69"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/325/69.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 325 ÷ 29
    325 ÷ 512     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69 ÷ 29
    69 ÷ 512     		y = 0.134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134765625 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29483525861133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29483525861133))-π/2
    2×atan(9.92280118158074)-π/2
    2×1.47035744249174-π/2
    2.94071488498349-1.57079632675     		φ = 1.36991856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36991856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.490552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 325 KachelY 69 0.84675739 1.36991856 48.515625 78.490552
    Oben rechts KachelX + 1 326 KachelY 69 0.85902924 1.36991856 49.218750 78.490552
    Unten links KachelX 325 KachelY + 1 70 0.84675739 1.36745518 48.515625 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 326 KachelY + 1 70 0.85902924 1.36745518 49.218750 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36991856-1.36745518) × R
    0.00246337999999979 × 6371000     		dl = 15694.1939799987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36991856-1.36745518) × R
    0.00246337999999979 × 6371000     		dr = 15694.1939799987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.85902924) × cos(1.36991856) × R
    0.01227185 × 0.199529524048583 × 6371000     		do = 15600.0075987506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.85902924) × cos(1.36745518) × R
    0.01227185 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 15788.6840980155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36991856)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199529524048583-0.201942762110113)×R²
    abs(0.85902924-0.84675739)×0.00241323806153057×R²
    0.01227185×0.00241323806153057×6371000²
    0.01227185×0.00241323806153057×40589641000000     		ar = 246310232.689577m²