Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32512 / 33536
↖ ↑ ↗
← S  4.214943°
W  1.406250°		 ← 609.14 m → S  4.214943°
W  1.400757°		 →
↑
609.13 m
↓
↑
609.13 m
↓
S  4.220421°
W  1.406250°		 ← 609.13 m →
371 042 m²		 S  4.220421°
W  1.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496101379394531 y=0.511726379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496101379394531 × 216)
    floor (0.496101379394531 × 65536)
    floor (32512.5)     		tx = 32512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511726379394531 × 216)
    floor (0.511726379394531 × 65536)
    floor (33536.5)     		ty = 33536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32512 / 33536 ti = "16/32512/33536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32512/33536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32512 ÷ 216
    32512 ÷ 65536     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33536 ÷ 216
    33536 ÷ 65536     		y = 0.51171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51171875 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(0.929014364635963)-π/2
    2×0.748615845597688-π/2
    1.49723169119538-1.57079632675     		φ = -0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32512 KachelY 33536 -0.02454369 -0.07356464 -1.406250 -4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 32513 KachelY 33536 -0.02444782 -0.07356464 -1.400757 -4.214943
    Unten links KachelX 32512 KachelY + 1 33537 -0.02454369 -0.07366025 -1.406250 -4.220421
    Unten rechts KachelX + 1 32513 KachelY + 1 33537 -0.02444782 -0.07366025 -1.400757 -4.220421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07356464--0.07366025) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dl = 609.131309999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07356464--0.07366025) × R
    9.5609999999996e-05 × 6371000     		dr = 609.131309999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02444782) × cos(-0.07356464) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 609.135797939082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02444782) × cos(-0.07366025) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.997288310215535 × 6371000     		du = 609.131503043623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07356464)-sin(-0.07366025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.997288310215535)×R²
    abs(-0.02444782--0.02454369)×7.0317312650392e-06×R²
    9.58700000000014e-05×7.0317312650392e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×7.0317312650392e-06×40589641000000     		ar = 371042.378771498m²