Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32513 / 33535
↖ ↑ ↗
← S  4.209465°
W  1.400757°		 ← 609.14 m → S  4.209465°
W  1.395264°		 →
↑
609.20 m
↓
↑
609.20 m
↓
S  4.214943°
W  1.400757°		 ← 609.14 m →
371 084 m²		 S  4.214943°
W  1.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496116638183594 y=0.511711120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496116638183594 × 216)
    floor (0.496116638183594 × 65536)
    floor (32513.5)     		tx = 32513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511711120605469 × 216)
    floor (0.511711120605469 × 65536)
    floor (33535.5)     		ty = 33535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32513 / 33535 ti = "16/32513/33535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32513/33535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32513 ÷ 216
    32513 ÷ 65536     		x = 0.496109008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33535 ÷ 216
    33535 ÷ 65536     		y = 0.511703491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496109008789062 × 2 - 1) × π
    -0.007781982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02444782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511703491210938 × 2 - 1) × π
    -0.023406982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0735352040171661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02444782} λ = -0.02444782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0735352040171661))-π/2
    2×atan(0.929103437042436)-π/2
    2×0.748663653012768-π/2
    1.49732730602554-1.57079632675     		φ = -0.07346902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02444782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.400757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07346902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.209465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32513 KachelY 33535 -0.02444782 -0.07346902 -1.400757 -4.209465
    Oben rechts KachelX + 1 32514 KachelY 33535 -0.02435195 -0.07346902 -1.395264 -4.209465
    Unten links KachelX 32513 KachelY + 1 33536 -0.02444782 -0.07356464 -1.400757 -4.214943
    Unten rechts KachelX + 1 32514 KachelY + 1 33536 -0.02435195 -0.07356464 -1.395264 -4.214943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07346902--0.07356464) × R
    9.56200000000046e-05 × 6371000     		dl = 609.195020000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07346902--0.07356464) × R
    9.56200000000046e-05 × 6371000     		dr = 609.195020000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02444782--0.02435195) × cos(-0.07346902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.997302365295547 × 6371000     		do = 609.140087714579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02444782--0.02435195) × cos(-0.07356464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9972953419468 × 6371000     		du = 609.13579793906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07346902)-sin(-0.07356464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997302365295547-0.9972953419468)×R²
    abs(-0.02435195--0.02444782)×7.02334874658206e-06×R²
    9.58699999999979e-05×7.02334874658206e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×7.02334874658206e-06×40589641000000     		ar = 371083.801545918m²