Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32520 / 32520
↖ ↑ ↗
← N  1.362176°
W  1.362305°		 ← 610.62 m → N  1.362176°
W  1.356812°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
N  1.356685°
W  1.362305°		 ← 610.62 m →
372 840 m²		 N  1.356685°
W  1.356812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496223449707031 y=0.496223449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496223449707031 × 216)
    floor (0.496223449707031 × 65536)
    floor (32520.5)     		tx = 32520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496223449707031 × 216)
    floor (0.496223449707031 × 65536)
    floor (32520.5)     		ty = 32520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32520 / 32520 ti = "16/32520/32520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32520/32520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32520 ÷ 216
    32520 ÷ 65536     		x = 0.4962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32520 ÷ 216
    32520 ÷ 65536     		y = 0.4962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02377670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4962158203125 × 2 - 1) × π
    0.007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0237767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02377670} λ = -0.02377670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0237767022115479))-π/2
    2×atan(1.02406162166253)-π/2
    2×0.797285394518147-π/2
    1.59457078903629-1.57079632675     		φ = 0.02377446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02377670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02377446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.362176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32520 KachelY 32520 -0.02377670 0.02377446 -1.362305 1.362176
    Oben rechts KachelX + 1 32521 KachelY 32520 -0.02368083 0.02377446 -1.356812 1.362176
    Unten links KachelX 32520 KachelY + 1 32521 -0.02377670 0.02367862 -1.362305 1.356685
    Unten rechts KachelX + 1 32521 KachelY + 1 32521 -0.02368083 0.02367862 -1.356812 1.356685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02377446-0.02367862) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02377446-0.02367862) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02377670--0.02368083) × cos(0.02377446) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999717400837238 × 6371000     		do = 610.615161887582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02377670--0.02368083) × cos(0.02367862) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999719674575484 × 6371000     		du = 610.616550659094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02377446)-sin(0.02367862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999717400837238-0.999719674575484)×R²
    abs(-0.02368083--0.02377670)×2.27373824568389e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.27373824568389e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.27373824568389e-06×40589641000000     		ar = 372839.990456622m²