Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 326 / 62
↖ ↑ ↗
← N 79.432371°
E 49.218750°		 ← 14.339 km → N 79.432371°
E 49.921875°		 →
↑
14.425 km
↓
↑
14.425 km
↓
N 79.302640°
E 49.218750°		 ← 14.513 km →
208.096 km²		 N 79.302640°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6376953125 y=0.1220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6376953125 × 29)
    floor (0.6376953125 × 512)
    floor (326.5)     		tx = 326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1220703125 × 29)
    floor (0.1220703125 × 512)
    floor (62.5)     		ty = 62
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 326 / 62 ti = "9/326/62"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/326/62.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 326 ÷ 29
    326 ÷ 512     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62 ÷ 29
    62 ÷ 512     		y = 0.12109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12109375 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38073818273047))-π/2
    2×atan(10.8128818012243)-π/2
    2×1.4785763645972-π/2
    2.9571527291944-1.57079632675     		φ = 1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 326 KachelY 62 0.85902924 1.38635640 49.218750 79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 327 KachelY 62 0.87130109 1.38635640 49.921875 79.432371
    Unten links KachelX 326 KachelY + 1 63 0.85902924 1.38409217 49.218750 79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 327 KachelY + 1 63 0.87130109 1.38409217 49.921875 79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38635640-1.38409217) × R
    0.00226422999999998 × 6371000     		dl = 14425.4093299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38635640-1.38409217) × R
    0.00226422999999998 × 6371000     		dr = 14425.4093299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.87130109) × cos(1.38635640) × R
    0.01227185 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 14338.6239557526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.87130109) × cos(1.38409217) × R
    0.01227185 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 14512.6109868395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38635640)-sin(1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.18562134310359)×R²
    abs(0.87130109-0.85902924)×0.00222535465342785×R²
    0.01227185×0.00222535465342785×6371000²
    0.01227185×0.00222535465342785×40589641000000     		ar = 208095525.765704m²