Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 326 / 70
↖ ↑ ↗
← N 78.349410°
E 49.218750°		 ← 15.789 km → N 78.349410°
E 49.921875°		 →
↑
15.884 km
↓
↑
15.884 km
↓
N 78.206563°
E 49.218750°		 ← 15.980 km →
252.302 km²		 N 78.206563°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6376953125 y=0.1376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6376953125 × 29)
    floor (0.6376953125 × 512)
    floor (326.5)     		tx = 326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1376953125 × 29)
    floor (0.1376953125 × 512)
    floor (70.5)     		ty = 70
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 326 / 70 ti = "9/326/70"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/326/70.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 326 ÷ 29
    326 ÷ 512     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70 ÷ 29
    70 ÷ 512     		y = 0.13671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13671875 × 2 - 1) × π
    0.7265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28256341230859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28256341230859))-π/2
    2×atan(9.80177422158009)-π/2
    2×1.46912575516101-π/2
    2.93825151032202-1.57079632675     		φ = 1.36745518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36745518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.349410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 326 KachelY 70 0.85902924 1.36745518 49.218750 78.349410
    Oben rechts KachelX + 1 327 KachelY 70 0.87130109 1.36745518 49.921875 78.349410
    Unten links KachelX 326 KachelY + 1 71 0.85902924 1.36496202 49.218750 78.206563
    Unten rechts KachelX + 1 327 KachelY + 1 71 0.87130109 1.36496202 49.921875 78.206563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36745518-1.36496202) × R
    0.00249315999999999 × 6371000     		dl = 15883.92236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36745518-1.36496202) × R
    0.00249315999999999 × 6371000     		dr = 15883.92236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.87130109) × cos(1.36745518) × R
    0.01227185 × 0.201942762110113 × 6371000     		do = 15788.6840980155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.87130109) × cos(1.36496202) × R
    0.01227185 × 0.204383926193747 × 6371000     		du = 15979.5439641735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36745518)-sin(1.36496202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201942762110113-0.204383926193747)×R²
    abs(0.87130109-0.85902924)×0.00244116408363379×R²
    0.01227185×0.00244116408363379×6371000²
    0.01227185×0.00244116408363379×40589641000000     		ar = 252302164.716573m²