Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3264 / 7104
↖ ↑ ↗
← S 78.630006°
W 36.562500°		 ← 963.34 m → S 78.630006°
W 36.518555°		 →
↑
962.98 m
↓
↑
962.98 m
↓
S 78.638666°
W 36.562500°		 ← 962.62 m →
927 328 m²		 S 78.638666°
W 36.518555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39849853515625 y=0.86724853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39849853515625 × 213)
    floor (0.39849853515625 × 8192)
    floor (3264.5)     		tx = 3264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.86724853515625 × 213)
    floor (0.86724853515625 × 8192)
    floor (7104.5)     		ty = 7104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3264 / 7104 ti = "13/3264/7104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3264/7104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3264 ÷ 213
    3264 ÷ 8192     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7104 ÷ 213
    7104 ÷ 8192     		y = 0.8671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8671875 × 2 - 1) × π
    -0.734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.30710710491406))-π/2
    2×atan(0.099548819698183)-π/2
    2×0.0992219193946073-π/2
    0.198443838789215-1.57079632675     		φ = -1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3264 KachelY 7104 -0.63813601 -1.37235249 -36.562500 -78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 3265 KachelY 7104 -0.63736902 -1.37235249 -36.518555 -78.630006
    Unten links KachelX 3264 KachelY + 1 7105 -0.63813601 -1.37250364 -36.562500 -78.638666
    Unten rechts KachelX + 1 3265 KachelY + 1 7105 -0.63736902 -1.37250364 -36.518555 -78.638666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37235249--1.37250364) × R
    0.000151149999999989 × 6371000     		dl = 962.976649999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37235249--1.37250364) × R
    0.000151149999999989 × 6371000     		dr = 962.976649999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.63736902) × cos(-1.37235249) × R
    0.000766990000000023 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 963.342575696862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.63736902) × cos(-1.37250364) × R
    0.000766990000000023 × 0.196995761445373 × 6371000     		du = 962.618466461287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37235249)-sin(-1.37250364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.196995761445373)×R²
    abs(-0.63736902--0.63813601)×0.000148185865118694×R²
    0.000766990000000023×0.000148185865118694×6371000²
    0.000766990000000023×0.000148185865118694×40589641000000     		ar = 927327.757970054m²