Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32640 / 32896
↖ ↑ ↗
← S  0.703107°
W  0.703125°		 ← 610.81 m → S  0.703107°
W  0.697632°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.708600°
W  0.703125°		 ← 610.80 m →
373 033 m²		 S  0.708600°
W  0.697632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498054504394531 y=0.501960754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498054504394531 × 216)
    floor (0.498054504394531 × 65536)
    floor (32640.5)     		tx = 32640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501960754394531 × 216)
    floor (0.501960754394531 × 65536)
    floor (32896.5)     		ty = 32896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32640 / 32896 ti = "16/32640/32896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32640/32896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32640 ÷ 216
    32640 ÷ 65536     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32896 ÷ 216
    32896 ÷ 65536     		y = 0.501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501953125 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0122718463027344))-π/2
    2×atan(0.987803145726098)-π/2
    2×0.779262394250125-π/2
    1.55852478850025-1.57079632675     		φ = -0.01227154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01227154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.703107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32640 KachelY 32896 -0.01227185 -0.01227154 -0.703125 -0.703107
    Oben rechts KachelX + 1 32641 KachelY 32896 -0.01217597 -0.01227154 -0.697632 -0.703107
    Unten links KachelX 32640 KachelY + 1 32897 -0.01227185 -0.01236740 -0.703125 -0.708600
    Unten rechts KachelX + 1 32641 KachelY + 1 32897 -0.01217597 -0.01236740 -0.697632 -0.708600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01227154--0.01236740) × R
    9.58600000000014e-05 × 6371000     		dl = 610.724060000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01227154--0.01236740) × R
    9.58600000000014e-05 × 6371000     		dr = 610.724060000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01217597) × cos(-0.01227154) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999924705597908 × 6371000     		do = 610.805486303055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01217597) × cos(-0.01236740) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999923524683386 × 6371000     		du = 610.804764939671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01227154)-sin(-0.01236740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999924705597908-0.999923524683386)×R²
    abs(-0.01217597--0.01227185)×1.18091452216973e-06×R²
    9.58800000000013e-05×1.18091452216973e-06×6371000²
    9.58800000000013e-05×1.18091452216973e-06×40589641000000     		ar = 373033.38647395m²