Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32640 / 33152
↖ ↑ ↗
← S  2.108899°
W  0.703125°		 ← 610.44 m → S  2.108899°
W  0.697632°		 →
↑
610.34 m
↓
↑
610.34 m
↓
S  2.114388°
W  0.703125°		 ← 610.44 m →
372 575 m²		 S  2.114388°
W  0.697632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498054504394531 y=0.505867004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498054504394531 × 216)
    floor (0.498054504394531 × 65536)
    floor (32640.5)     		tx = 32640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505867004394531 × 216)
    floor (0.505867004394531 × 65536)
    floor (33152.5)     		ty = 33152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32640 / 33152 ti = "16/32640/33152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32640/33152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32640 ÷ 216
    32640 ÷ 65536     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33152 ÷ 216
    33152 ÷ 65536     		y = 0.505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505859375 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(0.963853912497098)-π/2
    2×0.766994550800631-π/2
    1.53398910160126-1.57079632675     		φ = -0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32640 KachelY 33152 -0.01227185 -0.03680723 -0.703125 -2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 32641 KachelY 33152 -0.01217597 -0.03680723 -0.697632 -2.108899
    Unten links KachelX 32640 KachelY + 1 33153 -0.01227185 -0.03690303 -0.703125 -2.114388
    Unten rechts KachelX + 1 32641 KachelY + 1 33153 -0.01217597 -0.03690303 -0.697632 -2.114388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03680723--0.03690303) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.3418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03680723--0.03690303) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.3418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01217597) × cos(-0.03680723) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 610.437744417269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01217597) × cos(-0.03690303) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999319160459519 × 6371000     		du = 610.435588159063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03680723)-sin(-0.03690303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999319160459519)×R²
    abs(-0.01217597--0.01227185)×3.52992221008819e-06×R²
    9.58800000000013e-05×3.52992221008819e-06×6371000²
    9.58800000000013e-05×3.52992221008819e-06×40589641000000     		ar = 372575.013973279m²