Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32648 / 33160
↖ ↑ ↗
← S  2.152814°
W  0.659180°		 ← 610.42 m → S  2.152814°
W  0.653686°		 →
↑
610.34 m
↓
↑
610.34 m
↓
S  2.158303°
W  0.659180°		 ← 610.42 m →
372 564 m²		 S  2.158303°
W  0.653686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498176574707031 y=0.505989074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498176574707031 × 216)
    floor (0.498176574707031 × 65536)
    floor (32648.5)     		tx = 32648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505989074707031 × 216)
    floor (0.505989074707031 × 65536)
    floor (33160.5)     		ty = 33160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32648 / 33160 ti = "16/32648/33160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32648/33160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32648 ÷ 216
    32648 ÷ 65536     		x = 0.4981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33160 ÷ 216
    33160 ÷ 65536     		y = 0.5059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.037582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01150486} λ = -0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.037582529302124))-π/2
    2×atan(0.963114929237827)-π/2
    2×0.766611320794358-π/2
    1.53322264158872-1.57079632675     		φ = -0.03757369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03757369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.152814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32648 KachelY 33160 -0.01150486 -0.03757369 -0.659180 -2.152814
    Oben rechts KachelX + 1 32649 KachelY 33160 -0.01140898 -0.03757369 -0.653686 -2.152814
    Unten links KachelX 32648 KachelY + 1 33161 -0.01150486 -0.03766949 -0.659180 -2.158303
    Unten rechts KachelX + 1 32649 KachelY + 1 33161 -0.01140898 -0.03766949 -0.653686 -2.158303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03757369--0.03766949) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.3418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03757369--0.03766949) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.3418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01150486--0.01140898) × cos(-0.03757369) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999294191953022 × 6371000     		do = 610.420336109905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01150486--0.01140898) × cos(-0.03766949) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999290588654851 × 6371000     		du = 610.418135029884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03757369)-sin(-0.03766949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999294191953022-0.999290588654851)×R²
    abs(-0.01140898--0.01150486)×3.60329817172822e-06×R²
    9.58799999999996e-05×3.60329817172822e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.60329817172822e-06×40589641000000     		ar = 372564.375277293m²