Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3272 / 5064
↖ ↑ ↗
← S 39.095963°
W 36.210937°		 ← 3 792.36 m → S 39.095963°
W 36.166992°		 →
↑
3 791.45 m
↓
↑
3 791.45 m
↓
S 39.130060°
W 36.210937°		 ← 3 790.53 m →
14 375 060 m²		 S 39.130060°
W 36.166992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39947509765625 y=0.61822509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39947509765625 × 213)
    floor (0.39947509765625 × 8192)
    floor (3272.5)     		tx = 3272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61822509765625 × 213)
    floor (0.61822509765625 × 8192)
    floor (5064.5)     		ty = 5064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3272 / 5064 ti = "13/3272/5064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3272/5064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3272 ÷ 213
    3272 ÷ 8192     		x = 0.3994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5064 ÷ 213
    5064 ÷ 8192     		y = 0.6181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3994140625 × 2 - 1) × π
    -0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6181640625 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.74244670131543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63200008} λ = -0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74244670131543))-π/2
    2×atan(0.475947987197139)-π/2
    2×0.444221524667583-π/2
    0.888443049335165-1.57079632675     		φ = -0.68235328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68235328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.095963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3272 KachelY 5064 -0.63200008 -0.68235328 -36.210937 -39.095963
    Oben rechts KachelX + 1 3273 KachelY 5064 -0.63123309 -0.68235328 -36.166992 -39.095963
    Unten links KachelX 3272 KachelY + 1 5065 -0.63200008 -0.68294839 -36.210937 -39.130060
    Unten rechts KachelX + 1 3273 KachelY + 1 5065 -0.63123309 -0.68294839 -36.166992 -39.130060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68235328--0.68294839) × R
    0.00059511000000001 × 6371000     		dl = 3791.44581000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68235328--0.68294839) × R
    0.00059511000000001 × 6371000     		dr = 3791.44581000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63200008--0.63123309) × cos(-0.68235328) × R
    0.000766989999999912 × 0.776090840999745 × 6371000     		do = 3792.36268697528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63200008--0.63123309) × cos(-0.68294839) × R
    0.000766989999999912 × 0.775715414654103 × 6371000     		du = 3790.52816865641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68235328)-sin(-0.68294839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776090840999745-0.775715414654103)×R²
    abs(-0.63123309--0.63200008)×0.000375426345642138×R²
    0.000766989999999912×0.000375426345642138×6371000²
    0.000766989999999912×0.000375426345642138×40589641000000     		ar = 14375060.3053867m²