Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32737 / 32865
↖ ↑ ↗
← S  0.532829°
W  0.170288°		 ← 610.83 m → S  0.532829°
W  0.164795°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.538322°
W  0.170288°		 ← 610.82 m →
373 084 m²		 S  0.538322°
W  0.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499534606933594 y=0.501487731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499534606933594 × 216)
    floor (0.499534606933594 × 65536)
    floor (32737.5)     		tx = 32737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501487731933594 × 216)
    floor (0.501487731933594 × 65536)
    floor (32865.5)     		ty = 32865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32737 / 32865 ti = "16/32737/32865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32737/32865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32737 ÷ 216
    32737 ÷ 65536     		x = 0.499526977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32865 ÷ 216
    32865 ÷ 65536     		y = 0.501480102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.000946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00297209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501480102539062 × 2 - 1) × π
    -0.002960205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00929975852629089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00297209} λ = -0.00297209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00929975852629089))-π/2
    2×atan(0.990743350490052)-π/2
    2×0.780748351157383-π/2
    1.56149670231477-1.57079632675     		φ = -0.00929962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00297209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00929962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.532829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32737 KachelY 32865 -0.00297209 -0.00929962 -0.170288 -0.532829
    Oben rechts KachelX + 1 32738 KachelY 32865 -0.00287621 -0.00929962 -0.164795 -0.532829
    Unten links KachelX 32737 KachelY + 1 32866 -0.00297209 -0.00939549 -0.170288 -0.538322
    Unten rechts KachelX + 1 32738 KachelY + 1 32866 -0.00287621 -0.00939549 -0.164795 -0.538322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00929962--0.00939549) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00929962--0.00939549) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00297209--0.00287621) × cos(-0.00929962) × R
    9.588e-05 × 0.999956758845564 × 6371000     		do = 610.825066076816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00297209--0.00287621) × cos(-0.00939549) × R
    9.588e-05 × 0.999955862708517 × 6371000     		du = 610.824518670175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00929962)-sin(-0.00939549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999956758845564-0.999955862708517)×R²
    abs(-0.00287621--0.00297209)×8.96137047123879e-07×R²
    9.588e-05×8.96137047123879e-07×6371000²
    9.588e-05×8.96137047123879e-07×40589641000000     		ar = 373084.313080273m²