Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32753 / 32753
↖ ↑ ↗
← N  0.082398°
W  0.082398°		 ← 610.85 m → N  0.082398°
W  0.076904°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.076904°
W  0.082398°		 ← 610.85 m →
373 139 m²		 N  0.076904°
W  0.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499778747558594 y=0.499778747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499778747558594 × 216)
    floor (0.499778747558594 × 65536)
    floor (32753.5)     		tx = 32753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499778747558594 × 216)
    floor (0.499778747558594 × 65536)
    floor (32753.5)     		ty = 32753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32753 / 32753 ti = "16/32753/32753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32753/32753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32753 ÷ 216
    32753 ÷ 65536     		x = 0.499771118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32753 ÷ 216
    32753 ÷ 65536     		y = 0.499771118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499771118164062 × 2 - 1) × π
    -0.000457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00143811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499771118164062 × 2 - 1) × π
    0.000457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00143810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00143811} λ = -0.00143811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00143810698860168))-π/2
    2×atan(1.00143914156034)-π/2
    2×0.786117216643897-π/2
    1.57223443328779-1.57079632675     		φ = 0.00143811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00143811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.082398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00143811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.082398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32753 KachelY 32753 -0.00143811 0.00143811 -0.082398 0.082398
    Oben rechts KachelX + 1 32754 KachelY 32753 -0.00134223 0.00143811 -0.076904 0.082398
    Unten links KachelX 32753 KachelY + 1 32754 -0.00143811 0.00134223 -0.082398 0.076904
    Unten rechts KachelX + 1 32754 KachelY + 1 32754 -0.00134223 0.00134223 -0.076904 0.076904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00143811-0.00134223) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00143811-0.00134223) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00143811--0.00134223) × cos(0.00143811) × R
    9.588e-05 × 0.999998965919992 × 6371000     		do = 610.850848330697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00143811--0.00134223) × cos(0.00134223) × R
    9.588e-05 × 0.999999099209449 × 6371000     		du = 610.850929750759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00143811)-sin(0.00134223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998965919992-0.999999099209449)×R²
    abs(-0.00134223--0.00143811)×1.33289456583086e-07×R²
    9.588e-05×1.33289456583086e-07×6371000²
    9.588e-05×1.33289456583086e-07×40589641000000     		ar = 373139.1699157m²