Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32764 / 32780
↖ ↑ ↗
← S  0.065918°
W  0.021973°		 ← 610.85 m → S  0.065918°
W  0.016479°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.071411°
W  0.021973°		 ← 610.85 m →
373 100 m²		 S  0.071411°
W  0.016479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499946594238281 y=0.500190734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499946594238281 × 216)
    floor (0.499946594238281 × 65536)
    floor (32764.5)     		tx = 32764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500190734863281 × 216)
    floor (0.500190734863281 × 65536)
    floor (32780.5)     		ty = 32780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32764 / 32780 ti = "16/32764/32780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32764/32780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32764 ÷ 216
    32764 ÷ 65536     		x = 0.49993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32780 ÷ 216
    32780 ÷ 65536     		y = 0.50018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.0001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00038350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00038350} λ = -0.00038350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00115048559088135))-π/2
    2×atan(0.998850175963939)-π/2
    2×0.784822920728908-π/2
    1.56964584145782-1.57079632675     		φ = -0.00115049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00038350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00115049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.065918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32764 KachelY 32780 -0.00038350 -0.00115049 -0.021973 -0.065918
    Oben rechts KachelX + 1 32765 KachelY 32780 -0.00028762 -0.00115049 -0.016479 -0.065918
    Unten links KachelX 32764 KachelY + 1 32781 -0.00038350 -0.00124636 -0.021973 -0.071411
    Unten rechts KachelX + 1 32765 KachelY + 1 32781 -0.00028762 -0.00124636 -0.016479 -0.071411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00115049--0.00124636) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00115049--0.00124636) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00038350--0.00028762) × cos(-0.00115049) × R
    9.588e-05 × 0.999999338186453 × 6371000     		do = 610.851075730215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00038350--0.00028762) × cos(-0.00124636) × R
    9.588e-05 × 0.999999223293476 × 6371000     		du = 610.85100554767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00115049)-sin(-0.00124636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999338186453-0.999999223293476)×R²
    abs(-0.00028762--0.00038350)×1.14892977132186e-07×R²
    9.588e-05×1.14892977132186e-07×6371000²
    9.588e-05×1.14892977132186e-07×40589641000000     		ar = 373100.345199804m²