Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32764 / 32781
↖ ↑ ↗
← S  0.071411°
W  0.021973°		 ← 610.85 m → S  0.071411°
W  0.016479°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.076904°
W  0.021973°		 ← 610.85 m →
373 100 m²		 S  0.076904°
W  0.016479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499946594238281 y=0.500205993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499946594238281 × 216)
    floor (0.499946594238281 × 65536)
    floor (32764.5)     		tx = 32764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500205993652344 × 216)
    floor (0.500205993652344 × 65536)
    floor (32781.5)     		ty = 32781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32764 / 32781 ti = "16/32764/32781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32764/32781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32764 ÷ 216
    32764 ÷ 65536     		x = 0.49993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32781 ÷ 216
    32781 ÷ 65536     		y = 0.500198364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.0001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00038350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500198364257812 × 2 - 1) × π
    -0.000396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00124635939012146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00038350} λ = -0.00038350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00124635939012146))-π/2
    2×atan(0.998754416993159)-π/2
    2×0.78477498386373-π/2
    1.56954996772746-1.57079632675     		φ = -0.00124636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00038350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00124636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.071411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32764 KachelY 32781 -0.00038350 -0.00124636 -0.021973 -0.071411
    Oben rechts KachelX + 1 32765 KachelY 32781 -0.00028762 -0.00124636 -0.016479 -0.071411
    Unten links KachelX 32764 KachelY + 1 32782 -0.00038350 -0.00134223 -0.021973 -0.076904
    Unten rechts KachelX + 1 32765 KachelY + 1 32782 -0.00028762 -0.00134223 -0.016479 -0.076904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00124636--0.00134223) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00124636--0.00134223) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00038350--0.00028762) × cos(-0.00124636) × R
    9.588e-05 × 0.999999223293476 × 6371000     		do = 610.85100554767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00038350--0.00028762) × cos(-0.00134223) × R
    9.588e-05 × 0.999999099209449 × 6371000     		du = 610.850929750759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00124636)-sin(-0.00134223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999223293476-0.999999099209449)×R²
    abs(-0.00028762--0.00038350)×1.24084027053328e-07×R²
    9.588e-05×1.24084027053328e-07×6371000²
    9.588e-05×1.24084027053328e-07×40589641000000     		ar = 373100.300618571m²