Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32766 / 32774
↖ ↑ ↗
← S  0.032959°
W  0.010986°		 ← 610.85 m → S  0.032959°
W  0.005493°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
S  0.038452°
W  0.010986°		 ← 610.85 m →
373 139 m²		 S  0.038452°
W  0.005493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499977111816406 y=0.500099182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499977111816406 × 216)
    floor (0.499977111816406 × 65536)
    floor (32766.5)     		tx = 32766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500099182128906 × 216)
    floor (0.500099182128906 × 65536)
    floor (32774.5)     		ty = 32774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32766 / 32774 ti = "16/32766/32774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32766/32774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32766 ÷ 216
    32766 ÷ 65536     		x = 0.499969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32774 ÷ 216
    32774 ÷ 65536     		y = 0.500091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499969482421875 × 2 - 1) × π
    -6.103515625e-05 × 3.1415926535     		Λ = -0.00019175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.00018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.000575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00019175} λ = -0.00019175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000575242795440674))-π/2
    2×atan(0.999424922624976)-π/2
    2×0.78511054201559-π/2
    1.57022108403118-1.57079632675     		φ = -0.00057524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00019175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00057524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.032959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32766 KachelY 32774 -0.00019175 -0.00057524 -0.010986 -0.032959
    Oben rechts KachelX + 1 32767 KachelY 32774 -0.00009587 -0.00057524 -0.005493 -0.032959
    Unten links KachelX 32766 KachelY + 1 32775 -0.00019175 -0.00067112 -0.010986 -0.038452
    Unten rechts KachelX + 1 32767 KachelY + 1 32775 -0.00009587 -0.00067112 -0.005493 -0.038452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00057524--0.00067112) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00057524--0.00067112) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00019175--0.00009587) × cos(-0.00057524) × R
    9.588e-05 × 0.999999834549476 × 6371000     		do = 610.851378934302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00019175--0.00009587) × cos(-0.00067112) × R
    9.588e-05 × 0.999999774798981 × 6371000     		du = 610.851342435624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00057524)-sin(-0.00067112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999834549476-0.999999774798981)×R²
    abs(-0.00009587--0.00019175)×5.97504944410687e-08×R²
    9.588e-05×5.97504944410687e-08×6371000²
    9.588e-05×5.97504944410687e-08×40589641000000     		ar = 373139.458020279m²