Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32768 / 32769
↖ ↑ ↗
← S  0.005493°
E  0.000000°		 ← 610.79 m → S  0.005493°
E  0.005493°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
S  0.010986°
E  0.000000°		 ← 610.79 m →
373 101 m²		 S  0.010986°
E  0.005493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500007629394531 y=0.500022888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500007629394531 × 216)
    floor (0.500007629394531 × 65536)
    floor (32768.5)     		tx = 32768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500022888183594 × 216)
    floor (0.500022888183594 × 65536)
    floor (32769.5)     		ty = 32769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32768 / 32769 ti = "16/32768/32769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32768/32769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32768 ÷ 216
    32768 ÷ 65536     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32769 ÷ 216
    32769 ÷ 65536     		y = 0.500015258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500015258789062 × 2 - 1) × π
    -3.0517578125e-05 × 3.1415926535     		Φ = -9.58737992401123e-05
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-9.58737992401123e-05))-π/2
    2×atan(0.999904130796506)-π/2
    2×0.785350226497902-π/2
    1.5707004529958-1.57079632675     		φ = -0.00009587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00009587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.005493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32768 KachelY 32769 0.00000000 -0.00009587 0.000000 -0.005493
    Oben rechts KachelX + 1 32769 KachelY 32769 0.00009587 -0.00009587 0.005493 -0.005493
    Unten links KachelX 32768 KachelY + 1 32770 0.00000000 -0.00019175 0.000000 -0.010986
    Unten rechts KachelX + 1 32769 KachelY + 1 32770 0.00009587 -0.00019175 0.005493 -0.010986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00009587--0.00019175) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00009587--0.00019175) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.00009587) × cos(-0.00009587) × R
    9.587e-05 × 0.999999995404472 × 6371000     		do = 610.787767193107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.00009587) × cos(-0.00019175) × R
    9.587e-05 × 0.999999981615969 × 6371000     		du = 610.787758771259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00009587)-sin(-0.00019175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999995404472-0.999999981615969)×R²
    abs(0.00009587-0.00000000)×1.37885027839957e-08×R²
    9.587e-05×1.37885027839957e-08×6371000²
    9.587e-05×1.37885027839957e-08×40589641000000     		ar = 373100.609269381m²