Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32771 / 32771
↖ ↑ ↗
← S  0.016479°
E  0.016479°		 ← 610.85 m → S  0.016479°
E  0.021973°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
S  0.021973°
E  0.016479°		 ← 610.85 m →
373 140 m²		 S  0.021973°
E  0.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500053405761719 y=0.500053405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500053405761719 × 216)
    floor (0.500053405761719 × 65536)
    floor (32771.5)     		tx = 32771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500053405761719 × 216)
    floor (0.500053405761719 × 65536)
    floor (32771.5)     		ty = 32771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32771 / 32771 ti = "16/32771/32771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32771/32771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32771 ÷ 216
    32771 ÷ 65536     		x = 0.500045776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32771 ÷ 216
    32771 ÷ 65536     		y = 0.500045776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500045776367188 × 2 - 1) × π
    9.1552734375e-05 × 3.1415926535     		Λ = 0.00028762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500045776367188 × 2 - 1) × π
    -9.1552734375e-05 × 3.1415926535     		Φ = -0.000287621397720337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00028762} λ = 0.00028762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000287621397720337))-π/2
    2×atan(0.999712419961349)-π/2
    2×0.785254352700571-π/2
    1.57050870540114-1.57079632675     		φ = -0.00028762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00028762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00028762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.016479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32771 KachelY 32771 0.00028762 -0.00028762 0.016479 -0.016479
    Oben rechts KachelX + 1 32772 KachelY 32771 0.00038350 -0.00028762 0.021973 -0.016479
    Unten links KachelX 32771 KachelY + 1 32772 0.00028762 -0.00038350 0.016479 -0.021973
    Unten rechts KachelX + 1 32772 KachelY + 1 32772 0.00038350 -0.00038350 0.021973 -0.021973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00028762--0.00038350) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00028762--0.00038350) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00028762-0.00038350) × cos(-0.00028762) × R
    9.588e-05 × 0.999999958637368 × 6371000     		do = 610.851454733575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00028762-0.00038350) × cos(-0.00038350) × R
    9.588e-05 × 0.999999926463876 × 6371000     		du = 610.85143508035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00028762)-sin(-0.00038350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999958637368-0.999999926463876)×R²
    abs(0.00038350-0.00028762)×3.21734922037464e-08×R²
    9.588e-05×3.21734922037464e-08×6371000²
    9.588e-05×3.21734922037464e-08×40589641000000     		ar = 373139.509467412m²