Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32772 / 32772
↖ ↑ ↗
← S  0.021973°
E  0.021973°		 ← 610.79 m → S  0.021973°
E  0.027466°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.027466°
E  0.021973°		 ← 610.79 m →
373 062 m²		 S  0.027466°
E  0.027466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500068664550781 y=0.500068664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500068664550781 × 216)
    floor (0.500068664550781 × 65536)
    floor (32772.5)     		tx = 32772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500068664550781 × 216)
    floor (0.500068664550781 × 65536)
    floor (32772.5)     		ty = 32772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32772 / 32772 ti = "16/32772/32772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32772/32772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32772 ÷ 216
    32772 ÷ 65536     		x = 0.50006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32772 ÷ 216
    32772 ÷ 65536     		y = 0.50006103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50006103515625 × 2 - 1) × π
    0.0001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00038350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50006103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.000383495196960449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00038350} λ = 0.00038350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000383495196960449))-π/2
    2×atan(0.999616578327923)-π/2
    2×0.785206415803668-π/2
    1.57041283160734-1.57079632675     		φ = -0.00038350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00038350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00038350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.021973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32772 KachelY 32772 0.00038350 -0.00038350 0.021973 -0.021973
    Oben rechts KachelX + 1 32773 KachelY 32772 0.00047937 -0.00038350 0.027466 -0.021973
    Unten links KachelX 32772 KachelY + 1 32773 0.00038350 -0.00047937 0.021973 -0.027466
    Unten rechts KachelX + 1 32773 KachelY + 1 32773 0.00047937 -0.00047937 0.027466 -0.027466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00038350--0.00047937) × R
    9.587e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00038350--0.00047937) × R
    9.587e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00038350-0.00047937) × cos(-0.00038350) × R
    9.587e-05 × 0.999999926463876 × 6371000     		do = 610.787725085035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00038350-0.00047937) × cos(-0.00047937) × R
    9.587e-05 × 0.999999885102204 × 6371000     		du = 610.787699821831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00038350)-sin(-0.00047937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999926463876-0.999999885102204)×R²
    abs(0.00047937-0.00038350)×4.13616721983701e-08×R²
    9.587e-05×4.13616721983701e-08×6371000²
    9.587e-05×4.13616721983701e-08×40589641000000     		ar = 373061.66511857m²