Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32787 / 32787
↖ ↑ ↗
← S  0.104370°
E  0.104370°		 ← 610.85 m → S  0.104370°
E  0.109864°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.109863°
E  0.104370°		 ← 610.85 m →
373 100 m²		 S  0.109863°
E  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500297546386719 y=0.500297546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500297546386719 × 216)
    floor (0.500297546386719 × 65536)
    floor (32787.5)     		tx = 32787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500297546386719 × 216)
    floor (0.500297546386719 × 65536)
    floor (32787.5)     		ty = 32787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32787 / 32787 ti = "16/32787/32787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32787/32787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32787 ÷ 216
    32787 ÷ 65536     		x = 0.500289916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32787 ÷ 216
    32787 ÷ 65536     		y = 0.500289916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500289916992188 × 2 - 1) × π
    0.000579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00182160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500289916992188 × 2 - 1) × π
    -0.000579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00182160218556213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00182160} λ = 0.00182160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00182160218556213))-π/2
    2×atan(0.99818005592474)-π/2
    2×0.784487362808375-π/2
    1.56897472561675-1.57079632675     		φ = -0.00182160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00182160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00182160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.104370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32787 KachelY 32787 0.00182160 -0.00182160 0.104370 -0.104370
    Oben rechts KachelX + 1 32788 KachelY 32787 0.00191748 -0.00182160 0.109864 -0.104370
    Unten links KachelX 32787 KachelY + 1 32788 0.00182160 -0.00191747 0.104370 -0.109863
    Unten rechts KachelX + 1 32788 KachelY + 1 32788 0.00191748 -0.00191747 0.109864 -0.109863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00182160--0.00191747) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00182160--0.00191747) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00182160-0.00191748) × cos(-0.00182160) × R
    9.588e-05 × 0.999998340887179 × 6371000     		do = 610.850466528478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00182160-0.00191748) × cos(-0.00191747) × R
    9.588e-05 × 0.999998161654963 × 6371000     		du = 610.850357044213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00182160)-sin(-0.00191747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998340887179-0.999998161654963)×R²
    abs(0.00191748-0.00182160)×1.79232215957725e-07×R²
    9.588e-05×1.79232215957725e-07×6371000²
    9.588e-05×1.79232215957725e-07×40589641000000     		ar = 373099.961104329m²