Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32793 / 32761
↖ ↑ ↗
← N  0.038452°
E  0.137329°		 ← 610.85 m → N  0.038452°
E  0.142822°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.032959°
E  0.137329°		 ← 610.85 m →
373 139 m²		 N  0.032959°
E  0.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500389099121094 y=0.499900817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500389099121094 × 216)
    floor (0.500389099121094 × 65536)
    floor (32793.5)     		tx = 32793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499900817871094 × 216)
    floor (0.499900817871094 × 65536)
    floor (32761.5)     		ty = 32761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32793 / 32761 ti = "16/32793/32761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32793/32761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32793 ÷ 216
    32793 ÷ 65536     		x = 0.500381469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32761 ÷ 216
    32761 ÷ 65536     		y = 0.499893188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500381469726562 × 2 - 1) × π
    0.000762939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00239684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499893188476562 × 2 - 1) × π
    0.000213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.000671116594680786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00239684} λ = 0.00239684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000671116594680786))-π/2
    2×atan(1.00067134184381)-π/2
    2×0.7857337216696-π/2
    1.5714674433392-1.57079632675     		φ = 0.00067112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00239684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.137329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00067112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.038452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32793 KachelY 32761 0.00239684 0.00067112 0.137329 0.038452
    Oben rechts KachelX + 1 32794 KachelY 32761 0.00249272 0.00067112 0.142822 0.038452
    Unten links KachelX 32793 KachelY + 1 32762 0.00239684 0.00057524 0.137329 0.032959
    Unten rechts KachelX + 1 32794 KachelY + 1 32762 0.00249272 0.00057524 0.142822 0.032959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00067112-0.00057524) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00067112-0.00057524) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00239684-0.00249272) × cos(0.00067112) × R
    9.588e-05 × 0.999999774798981 × 6371000     		do = 610.851342435624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00239684-0.00249272) × cos(0.00057524) × R
    9.588e-05 × 0.999999834549476 × 6371000     		du = 610.851378934302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00067112)-sin(0.00057524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999774798981-0.999999834549476)×R²
    abs(0.00249272-0.00239684)×5.97504944410687e-08×R²
    9.588e-05×5.97504944410687e-08×6371000²
    9.588e-05×5.97504944410687e-08×40589641000000     		ar = 373139.458020279m²