Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32799 / 32799
↖ ↑ ↗
← S  0.170288°
E  0.170288°		 ← 610.79 m → S  0.170288°
E  0.175781°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
S  0.175781°
E  0.170288°		 ← 610.78 m →
373 099 m²		 S  0.175781°
E  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500480651855469 y=0.500480651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500480651855469 × 216)
    floor (0.500480651855469 × 65536)
    floor (32799.5)     		tx = 32799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500480651855469 × 216)
    floor (0.500480651855469 × 65536)
    floor (32799.5)     		ty = 32799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32799 / 32799 ti = "16/32799/32799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32799/32799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32799 ÷ 216
    32799 ÷ 65536     		x = 0.500473022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32799 ÷ 216
    32799 ÷ 65536     		y = 0.500473022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500473022460938 × 2 - 1) × π
    0.000946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00297209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500473022460938 × 2 - 1) × π
    -0.000946044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00297208777644348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00297209} λ = 0.00297209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00297208777644348))-π/2
    2×atan(0.997032324504121)-π/2
    2×0.783912121697002-π/2
    1.567824243394-1.57079632675     		φ = -0.00297208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00297209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00297208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.170288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32799 KachelY 32799 0.00297209 -0.00297208 0.170288 -0.170288
    Oben rechts KachelX + 1 32800 KachelY 32799 0.00306796 -0.00297208 0.175781 -0.170288
    Unten links KachelX 32799 KachelY + 1 32800 0.00297209 -0.00306796 0.170288 -0.175781
    Unten rechts KachelX + 1 32800 KachelY + 1 32800 0.00306796 -0.00306796 0.175781 -0.175781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00297208--0.00306796) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.851479999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00297208--0.00306796) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.851479999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00297209-0.00306796) × cos(-0.00297208) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999995583373488 × 6371000     		do = 610.785072378539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00297209-0.00306796) × cos(-0.00306796) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999995293814411 × 6371000     		du = 610.784895519396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00297208)-sin(-0.00306796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999995583373488-0.999995293814411)×R²
    abs(0.00306796-0.00297209)×2.89559077382151e-07×R²
    9.58699999999996e-05×2.89559077382151e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×2.89559077382151e-07×40589641000000     		ar = 373098.911692826m²