Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 328 / 200
↖ ↑ ↗
← N 36.597889°
E 50.625000°		 ← 62.769 km → N 36.597889°
E 51.328125°		 →
↑
62.998 km
↓
↑
62.998 km
↓
N 36.031332°
E 50.625000°		 ← 63.227 km →
3 968.80 km²		 N 36.031332°
E 51.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6416015625 y=0.3916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6416015625 × 29)
    floor (0.6416015625 × 512)
    floor (328.5)     		tx = 328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3916015625 × 29)
    floor (0.3916015625 × 512)
    floor (200.5)     		ty = 200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 328 / 200 ti = "9/328/200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/328/200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 328 ÷ 29
    328 ÷ 512     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 200 ÷ 29
    200 ÷ 512     		y = 0.390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390625 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Φ = 0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687223392953125))-π/2
    2×atan(1.98818744685741)-π/2
    2×1.10477499571553-π/2
    2.20954999143106-1.57079632675     		φ = 0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 328 KachelY 200 0.88357293 0.63875366 50.625000 36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 329 KachelY 200 0.89584478 0.63875366 51.328125 36.597889
    Unten links KachelX 328 KachelY + 1 201 0.88357293 0.62886537 50.625000 36.031332
    Unten rechts KachelX + 1 329 KachelY + 1 201 0.89584478 0.62886537 51.328125 36.031332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63875366-0.62886537) × R
    0.00988829000000002 × 6371000     		dl = 62998.2955900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63875366-0.62886537) × R
    0.00988829000000002 × 6371000     		dr = 62998.2955900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.89584478) × cos(0.63875366) × R
    0.01227185 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 62769.1639898502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.89584478) × cos(0.62886537) × R
    0.01227185 × 0.808695449364141 × 6371000     		du = 63227.0097135295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63875366)-sin(0.62886537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.808695449364141)×R²
    abs(0.89584478-0.88357293)×0.00585600607917236×R²
    0.01227185×0.00585600607917236×6371000²
    0.01227185×0.00585600607917236×40589641000000     		ar = 3968804435.71231m²