Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 328 / 71
↖ ↑ ↗
← N 78.206563°
E 50.625000°		 ← 15.980 km → N 78.206563°
E 51.328125°		 →
↑
16.076 km
↓
↑
16.076 km
↓
N 78.061989°
E 50.625000°		 ← 16.173 km →
258.437 km²		 N 78.061989°
E 51.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6416015625 y=0.1396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6416015625 × 29)
    floor (0.6416015625 × 512)
    floor (328.5)     		tx = 328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1396484375 × 29)
    floor (0.1396484375 × 512)
    floor (71.5)     		ty = 71
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 328 / 71 ti = "9/328/71"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/328/71.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 328 ÷ 29
    328 ÷ 512     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71 ÷ 29
    71 ÷ 512     		y = 0.138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138671875 × 2 - 1) × π
    0.72265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27029156600586))-π/2
    2×atan(9.68222340977379)-π/2
    2×1.46787917486646-π/2
    2.93575834973291-1.57079632675     		φ = 1.36496202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36496202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.206563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 328 KachelY 71 0.88357293 1.36496202 50.625000 78.206563
    Oben rechts KachelX + 1 329 KachelY 71 0.89584478 1.36496202 51.328125 78.206563
    Unten links KachelX 328 KachelY + 1 72 0.88357293 1.36243873 50.625000 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 329 KachelY + 1 72 0.89584478 1.36243873 51.328125 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36496202-1.36243873) × R
    0.00252329000000007 × 6371000     		dl = 16075.8805900004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36496202-1.36243873) × R
    0.00252329000000007 × 6371000     		dr = 16075.8805900004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.89584478) × cos(1.36496202) × R
    0.01227185 × 0.204383926193747 × 6371000     		do = 15979.5439641735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.89584478) × cos(1.36243873) × R
    0.01227185 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 16172.6092451589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36496202)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204383926193747-0.206853298300232)×R²
    abs(0.89584478-0.88357293)×0.00246937210648537×R²
    0.01227185×0.00246937210648537×6371000²
    0.01227185×0.00246937210648537×40589641000000     		ar = 258437224.974693m²