Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 328 / 72
↖ ↑ ↗
← N 78.061989°
E 50.625000°		 ← 16.173 km → N 78.061989°
E 51.328125°		 →
↑
16.270 km
↓
↑
16.270 km
↓
N 77.915669°
E 50.625000°		 ← 16.368 km →
264.718 km²		 N 77.915669°
E 51.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6416015625 y=0.1416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6416015625 × 29)
    floor (0.6416015625 × 512)
    floor (328.5)     		tx = 328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1416015625 × 29)
    floor (0.1416015625 × 512)
    floor (72.5)     		ty = 72
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 328 / 72 ti = "9/328/72"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/328/72.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 328 ÷ 29
    328 ÷ 512     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72 ÷ 29
    72 ÷ 512     		y = 0.140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140625 × 2 - 1) × π
    0.71875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25801971970313))-π/2
    2×atan(9.56413074179742)-π/2
    2×1.46661752937248-π/2
    2.93323505874497-1.57079632675     		φ = 1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 328 KachelY 72 0.88357293 1.36243873 50.625000 78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 329 KachelY 72 0.89584478 1.36243873 51.328125 78.061989
    Unten links KachelX 328 KachelY + 1 73 0.88357293 1.35988496 50.625000 77.915669
    Unten rechts KachelX + 1 329 KachelY + 1 73 0.89584478 1.35988496 51.328125 77.915669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36243873-1.35988496) × R
    0.00255377000000001 × 6371000     		dl = 16270.0686700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36243873-1.35988496) × R
    0.00255377000000001 × 6371000     		dr = 16270.0686700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.89584478) × cos(1.36243873) × R
    0.01227185 × 0.206853298300232 × 6371000     		do = 16172.6092451589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.89584478) × cos(1.35988496) × R
    0.01227185 × 0.209351158050482 × 6371000     		du = 16367.9018028408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36243873)-sin(1.35988496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206853298300232-0.209351158050482)×R²
    abs(0.89584478-0.88357293)×0.00249785975024963×R²
    0.01227185×0.00249785975024963×6371000²
    0.01227185×0.00249785975024963×40589641000000     		ar = 264718318.522609m²