Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32804 / 32804
↖ ↑ ↗
← S  0.197754°
E  0.197754°		 ← 610.78 m → S  0.197754°
E  0.203247°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.203246°
E  0.197754°		 ← 610.78 m →
373 059 m²		 S  0.203246°
E  0.203247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500556945800781 y=0.500556945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500556945800781 × 216)
    floor (0.500556945800781 × 65536)
    floor (32804.5)     		tx = 32804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500556945800781 × 216)
    floor (0.500556945800781 × 65536)
    floor (32804.5)     		ty = 32804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32804 / 32804 ti = "16/32804/32804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32804/32804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32804 ÷ 216
    32804 ÷ 65536     		x = 0.50054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32804 ÷ 216
    32804 ÷ 65536     		y = 0.50054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50054931640625 × 2 - 1) × π
    0.0010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00345146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.0010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00345145677264404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00345146} λ = 0.00345146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00345145677264404))-π/2
    2×atan(0.996554492657581)-π/2
    2×0.783672438437422-π/2
    1.56734487687484-1.57079632675     		φ = -0.00345145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00345146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00345145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.197754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32804 KachelY 32804 0.00345146 -0.00345145 0.197754 -0.197754
    Oben rechts KachelX + 1 32805 KachelY 32804 0.00354733 -0.00345145 0.203247 -0.197754
    Unten links KachelX 32804 KachelY + 1 32805 0.00345146 -0.00354732 0.197754 -0.203246
    Unten rechts KachelX + 1 32805 KachelY + 1 32805 0.00354733 -0.00354732 0.203247 -0.203246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00345145--0.00354732) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00345145--0.00354732) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00345146-0.00354733) × cos(-0.00345145) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999994043752362 × 6371000     		do = 610.784131996788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00345146-0.00354733) × cos(-0.00354732) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999993708267007 × 6371000     		du = 610.783927086436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00345145)-sin(-0.00354732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999994043752362-0.999993708267007)×R²
    abs(0.00354733-0.00345146)×3.35485355051901e-07×R²
    9.58700000000001e-05×3.35485355051901e-07×6371000²
    9.58700000000001e-05×3.35485355051901e-07×40589641000000     		ar = 373059.415641069m²