Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32820 / 32756
↖ ↑ ↗
← N  0.065918°
E  0.285645°		 ← 610.79 m → N  0.065918°
E  0.291138°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.060425°
E  0.285645°		 ← 610.79 m →
373 100 m²		 N  0.060425°
E  0.291138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500801086425781 y=0.499824523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500801086425781 × 216)
    floor (0.500801086425781 × 65536)
    floor (32820.5)     		tx = 32820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499824523925781 × 216)
    floor (0.499824523925781 × 65536)
    floor (32756.5)     		ty = 32756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32820 / 32756 ti = "16/32820/32756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32820/32756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32820 ÷ 216
    32820 ÷ 65536     		x = 0.50079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32756 ÷ 216
    32756 ÷ 65536     		y = 0.49981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50079345703125 × 2 - 1) × π
    0.0015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00498544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49981689453125 × 2 - 1) × π
    0.0003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00498544} λ = 0.00498544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00115048559088135))-π/2
    2×atan(1.0011511476533)-π/2
    2×0.785973406065989-π/2
    1.57194681213198-1.57079632675     		φ = 0.00115049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00498544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.285645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00115049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.065918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32820 KachelY 32756 0.00498544 0.00115049 0.285645 0.065918
    Oben rechts KachelX + 1 32821 KachelY 32756 0.00508131 0.00115049 0.291138 0.065918
    Unten links KachelX 32820 KachelY + 1 32757 0.00498544 0.00105461 0.285645 0.060425
    Unten rechts KachelX + 1 32821 KachelY + 1 32757 0.00508131 0.00105461 0.291138 0.060425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00115049-0.00105461) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00115049-0.00105461) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00498544-0.00508131) × cos(0.00115049) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.999999338186453 × 6371000     		do = 610.787365772383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00498544-0.00508131) × cos(0.00105461) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.999999443898925 × 6371000     		du = 610.787430340268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00115049)-sin(0.00105461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999338186453-0.999999443898925)×R²
    abs(0.00508131-0.00498544)×1.05712472553421e-07×R²
    9.58700000000005e-05×1.05712472553421e-07×6371000²
    9.58700000000005e-05×1.05712472553421e-07×40589641000000     		ar = 373100.386353881m²