Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32832 / 33088
↖ ↑ ↗
← S  1.757537°
E  0.351562°		 ← 610.56 m → S  1.757537°
E  0.357056°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.763027°
E  0.351562°		 ← 610.56 m →
372 769 m²		 S  1.763027°
E  0.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500984191894531 y=0.504890441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500984191894531 × 216)
    floor (0.500984191894531 × 65536)
    floor (32832.5)     		tx = 32832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504890441894531 × 216)
    floor (0.504890441894531 × 65536)
    floor (33088.5)     		ty = 33088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32832 / 33088 ti = "16/32832/33088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32832/33088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32832 ÷ 216
    32832 ÷ 65536     		x = 0.5009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33088 ÷ 216
    33088 ÷ 65536     		y = 0.5048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5048828125 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00613592} λ = 0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0306796157568359))-π/2
    2×atan(0.969786227535512)-π/2
    2×0.77006076135672-π/2
    1.54012152271344-1.57079632675     		φ = -0.03067480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03067480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.757537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32832 KachelY 33088 0.00613592 -0.03067480 0.351562 -1.757537
    Oben rechts KachelX + 1 32833 KachelY 33088 0.00623180 -0.03067480 0.357056 -1.757537
    Unten links KachelX 32832 KachelY + 1 33089 0.00613592 -0.03077063 0.351562 -1.763027
    Unten rechts KachelX + 1 32833 KachelY + 1 33089 0.00623180 -0.03077063 0.357056 -1.763027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03067480--0.03077063) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03067480--0.03077063) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00613592-0.00623180) × cos(-0.03067480) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.999529565211923 × 6371000     		do = 610.564114213462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00613592-0.00623180) × cos(-0.03077063) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.999526621517281 × 6371000     		du = 610.562316053234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03067480)-sin(-0.03077063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999529565211923-0.999526621517281)×R²
    abs(0.00623180-0.00613592)×2.94369464137745e-06×R²
    9.58800000000004e-05×2.94369464137745e-06×6371000²
    9.58800000000004e-05×2.94369464137745e-06×40589641000000     		ar = 372768.948970866m²