Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32840 / 32968
↖ ↑ ↗
← S  1.098565°
E  0.395508°		 ← 610.74 m → S  1.098565°
E  0.401001°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  1.104058°
E  0.395508°		 ← 610.74 m →
372 993 m²		 S  1.104058°
E  0.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501106262207031 y=0.503059387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501106262207031 × 216)
    floor (0.501106262207031 × 65536)
    floor (32840.5)     		tx = 32840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503059387207031 × 216)
    floor (0.503059387207031 × 65536)
    floor (32968.5)     		ty = 32968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32840 / 32968 ti = "16/32840/32968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32840/32968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32840 ÷ 216
    32840 ÷ 65536     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32968 ÷ 216
    32968 ÷ 65536     		y = 0.5030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0191747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0191747598480225))-π/2
    2×atan(0.981007906468807)-π/2
    2×0.775811370920365-π/2
    1.55162274184073-1.57079632675     		φ = -0.01917358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01917358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.098565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32840 KachelY 32968 0.00690291 -0.01917358 0.395508 -1.098565
    Oben rechts KachelX + 1 32841 KachelY 32968 0.00699879 -0.01917358 0.401001 -1.098565
    Unten links KachelX 32840 KachelY + 1 32969 0.00690291 -0.01926944 0.395508 -1.104058
    Unten rechts KachelX + 1 32841 KachelY + 1 32969 0.00699879 -0.01926944 0.401001 -1.104058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01917358--0.01926944) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01917358--0.01926944) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00699879) × cos(-0.01917358) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.999816192546131 × 6371000     		do = 610.739200944772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00699879) × cos(-0.01926944) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.999814350085643 × 6371000     		du = 610.738075475056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01917358)-sin(-0.01926944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999816192546131-0.999814350085643)×R²
    abs(0.00699879-0.00690291)×1.84246048851033e-06×R²
    9.58800000000004e-05×1.84246048851033e-06×6371000²
    9.58800000000004e-05×1.84246048851033e-06×40589641000000     		ar = 372992.781012051m²