Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32863 / 32929
↖ ↑ ↗
← S  0.884364°
E  0.521851°		 ← 610.72 m → S  0.884364°
E  0.527343°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.889857°
E  0.521851°		 ← 610.71 m →
372 978 m²		 S  0.889857°
E  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501457214355469 y=0.502464294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501457214355469 × 216)
    floor (0.501457214355469 × 65536)
    floor (32863.5)     		tx = 32863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502464294433594 × 216)
    floor (0.502464294433594 × 65536)
    floor (32929.5)     		ty = 32929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32863 / 32929 ti = "16/32863/32929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32863/32929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32863 ÷ 216
    32863 ÷ 65536     		x = 0.501449584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32929 ÷ 216
    32929 ÷ 65536     		y = 0.502456665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501449584960938 × 2 - 1) × π
    0.002899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00910801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502456665039062 × 2 - 1) × π
    -0.004913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0154356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00910801} λ = 0.00910801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0154356816776581))-π/2
    2×atan(0.984682837863206)-π/2
    2×0.777680629016171-π/2
    1.55536125803234-1.57079632675     		φ = -0.01543507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00910801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.521851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01543507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.884364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32863 KachelY 32929 0.00910801 -0.01543507 0.521851 -0.884364
    Oben rechts KachelX + 1 32864 KachelY 32929 0.00920388 -0.01543507 0.527343 -0.884364
    Unten links KachelX 32863 KachelY + 1 32930 0.00910801 -0.01553093 0.521851 -0.889857
    Unten rechts KachelX + 1 32864 KachelY + 1 32930 0.00920388 -0.01553093 0.527343 -0.889857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01543507--0.01553093) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01543507--0.01553093) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00910801-0.00920388) × cos(-0.01543507) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999880881671985 × 6371000     		do = 610.715013982064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00910801-0.00920388) × cos(-0.01553093) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999879397530905 × 6371000     		du = 610.714107486843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01543507)-sin(-0.01553093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999880881671985-0.999879397530905)×R²
    abs(0.00920388-0.00910801)×1.48414108047668e-06×R²
    9.58699999999996e-05×1.48414108047668e-06×6371000²
    9.58699999999996e-05×1.48414108047668e-06×40589641000000     		ar = 372978.076318469m²