Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32864 / 32736
↖ ↑ ↗
← N  0.175781°
E  0.527343°		 ← 610.85 m → N  0.175781°
E  0.532837°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.170288°
E  0.527343°		 ← 610.85 m →
373 138 m²		 N  0.170288°
E  0.532837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501472473144531 y=0.499519348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501472473144531 × 216)
    floor (0.501472473144531 × 65536)
    floor (32864.5)     		tx = 32864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499519348144531 × 216)
    floor (0.499519348144531 × 65536)
    floor (32736.5)     		ty = 32736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32864 / 32736 ti = "16/32864/32736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32864/32736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32864 ÷ 216
    32864 ÷ 65536     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32736 ÷ 216
    32736 ÷ 65536     		y = 0.49951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    0.0009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00306796157568359))-π/2
    2×atan(1.0030726725863)-π/2
    2×0.786932141778892-π/2
    1.57386428355778-1.57079632675     		φ = 0.00306796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00306796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.175781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32864 KachelY 32736 0.00920388 0.00306796 0.527343 0.175781
    Oben rechts KachelX + 1 32865 KachelY 32736 0.00929976 0.00306796 0.532837 0.175781
    Unten links KachelX 32864 KachelY + 1 32737 0.00920388 0.00297208 0.527343 0.170288
    Unten rechts KachelX + 1 32865 KachelY + 1 32737 0.00929976 0.00297208 0.532837 0.170288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00306796-0.00297208) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.851479999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00306796-0.00297208) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.851479999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.00929976) × cos(0.00306796) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999995293814411 × 6371000     		do = 610.848605219576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.00929976) × cos(0.00297208) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999995583373488 × 6371000     		du = 610.848782097167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00306796)-sin(0.00297208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999995293814411-0.999995583373488)×R²
    abs(0.00929976-0.00920388)×2.89559077382151e-07×R²
    9.58800000000013e-05×2.89559077382151e-07×6371000²
    9.58800000000013e-05×2.89559077382151e-07×40589641000000     		ar = 373137.828863136m²