Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32864 / 32993
↖ ↑ ↗
← S  1.235866°
E  0.527343°		 ← 610.71 m → S  1.235866°
E  0.532837°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.241358°
E  0.527343°		 ← 610.71 m →
372 936 m²		 S  1.241358°
E  0.532837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501472473144531 y=0.503440856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501472473144531 × 216)
    floor (0.501472473144531 × 65536)
    floor (32864.5)     		tx = 32864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503440856933594 × 216)
    floor (0.503440856933594 × 65536)
    floor (32993.5)     		ty = 32993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32864 / 32993 ti = "16/32864/32993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32864/32993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32864 ÷ 216
    32864 ÷ 65536     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32993 ÷ 216
    32993 ÷ 65536     		y = 0.503433227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503433227539062 × 2 - 1) × π
    -0.006866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0215716048290253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0215716048290253))-π/2
    2×atan(0.978659398221288)-π/2
    2×0.774613197385975-π/2
    1.54922639477195-1.57079632675     		φ = -0.02156993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02156993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.235866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32864 KachelY 32993 0.00920388 -0.02156993 0.527343 -1.235866
    Oben rechts KachelX + 1 32865 KachelY 32993 0.00929976 -0.02156993 0.532837 -1.235866
    Unten links KachelX 32864 KachelY + 1 32994 0.00920388 -0.02166578 0.527343 -1.241358
    Unten rechts KachelX + 1 32865 KachelY + 1 32994 0.00929976 -0.02166578 0.532837 -1.241358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02156993--0.02166578) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02156993--0.02166578) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.00929976) × cos(-0.02156993) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999767378079283 × 6371000     		do = 610.709382555458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.00929976) × cos(-0.02166578) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999765306169269 × 6371000     		du = 610.70811692616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02156993)-sin(-0.02166578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999767378079283-0.999765306169269)×R²
    abs(0.00929976-0.00920388)×2.07191001400098e-06×R²
    9.58800000000013e-05×2.07191001400098e-06×6371000²
    9.58800000000013e-05×2.07191001400098e-06×40589641000000     		ar = 372935.619150291m²