Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32868 / 32740
↖ ↑ ↗
← N  0.153808°
E  0.549316°		 ← 610.79 m → N  0.153808°
E  0.554809°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.148315°
E  0.549316°		 ← 610.79 m →
373 060 m²		 N  0.148315°
E  0.554809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501533508300781 y=0.499580383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501533508300781 × 216)
    floor (0.501533508300781 × 65536)
    floor (32868.5)     		tx = 32868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499580383300781 × 216)
    floor (0.499580383300781 × 65536)
    floor (32740.5)     		ty = 32740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32868 / 32740 ti = "16/32868/32740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32868/32740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32868 ÷ 216
    32868 ÷ 65536     		x = 0.50152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32740 ÷ 216
    32740 ÷ 65536     		y = 0.49957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50152587890625 × 2 - 1) × π
    0.0030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00958738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49957275390625 × 2 - 1) × π
    0.0008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00268446637872314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00958738} λ = 0.00958738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00268446637872314))-π/2
    2×atan(1.00268807278496)-π/2
    2×0.78674039497471-π/2
    1.57348078994942-1.57079632675     		φ = 0.00268446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00958738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.549316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00268446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.153808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32868 KachelY 32740 0.00958738 0.00268446 0.549316 0.153808
    Oben rechts KachelX + 1 32869 KachelY 32740 0.00968325 0.00268446 0.554809 0.153808
    Unten links KachelX 32868 KachelY + 1 32741 0.00958738 0.00258859 0.549316 0.148315
    Unten rechts KachelX + 1 32869 KachelY + 1 32741 0.00968325 0.00258859 0.554809 0.148315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00268446-0.00258859) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00268446-0.00258859) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00958738-0.00968325) × cos(0.00268446) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999996396839418 × 6371000     		do = 610.785569233581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00958738-0.00968325) × cos(0.00258859) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999996649602777 × 6371000     		du = 610.785723618349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00268446)-sin(0.00258859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999996396839418-0.999996649602777)×R²
    abs(0.00968325-0.00958738)×2.5276335879898e-07×R²
    9.58699999999996e-05×2.5276335879898e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×2.5276335879898e-07×40589641000000     		ar = 373060.403214258m²