Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32872 / 32936
↖ ↑ ↗
← S  0.922812°
E  0.571289°		 ← 610.71 m → S  0.922812°
E  0.576782°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.928304°
E  0.571289°		 ← 610.71 m →
372 974 m²		 S  0.928304°
E  0.576782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501594543457031 y=0.502571105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501594543457031 × 216)
    floor (0.501594543457031 × 65536)
    floor (32872.5)     		tx = 32872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502571105957031 × 216)
    floor (0.502571105957031 × 65536)
    floor (32936.5)     		ty = 32936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32872 / 32936 ti = "16/32872/32936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32872/32936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32872 ÷ 216
    32872 ÷ 65536     		x = 0.5015869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32936 ÷ 216
    32936 ÷ 65536     		y = 0.5025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5015869140625 × 2 - 1) × π
    0.003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00997088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0161067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00997088} λ = 0.00997088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0161067982723389))-π/2
    2×atan(0.984022222569957)-π/2
    2×0.777345112452844-π/2
    1.55469022490569-1.57079632675     		φ = -0.01610610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00997088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01610610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.922812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32872 KachelY 32936 0.00997088 -0.01610610 0.571289 -0.922812
    Oben rechts KachelX + 1 32873 KachelY 32936 0.01006675 -0.01610610 0.576782 -0.922812
    Unten links KachelX 32872 KachelY + 1 32937 0.00997088 -0.01620196 0.571289 -0.928304
    Unten rechts KachelX + 1 32873 KachelY + 1 32937 0.01006675 -0.01620196 0.576782 -0.928304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01610610--0.01620196) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01610610--0.01620196) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00997088-0.01006675) × cos(-0.01610610) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999870299575192 × 6371000     		do = 610.708550566761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00997088-0.01006675) × cos(-0.01620196) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999868751117225 × 6371000     		du = 610.707604787572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01610610)-sin(-0.01620196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999870299575192-0.999868751117225)×R²
    abs(0.01006675-0.00997088)×1.54845796751513e-06×R²
    9.58699999999996e-05×1.54845796751513e-06×6371000²
    9.58699999999996e-05×1.54845796751513e-06×40589641000000     		ar = 372974.116959398m²