Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32895 / 32895
↖ ↑ ↗
← S  0.697615°
E  0.697632°		 ← 610.81 m → S  0.697615°
E  0.703125°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.703107°
E  0.697632°		 ← 610.81 m →
373 073 m²		 S  0.703107°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501945495605469 y=0.501945495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501945495605469 × 216)
    floor (0.501945495605469 × 65536)
    floor (32895.5)     		tx = 32895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501945495605469 × 216)
    floor (0.501945495605469 × 65536)
    floor (32895.5)     		ty = 32895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32895 / 32895 ti = "16/32895/32895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32895/32895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32895 ÷ 216
    32895 ÷ 65536     		x = 0.501937866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32895 ÷ 216
    32895 ÷ 65536     		y = 0.501937866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501937866210938 × 2 - 1) × π
    0.003875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01217597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501937866210938 × 2 - 1) × π
    -0.003875732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0121759725034943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01217597} λ = 0.01217597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0121759725034943))-π/2
    2×atan(0.987897854706562)-π/2
    2×0.779310327568489-π/2
    1.55862065513698-1.57079632675     		φ = -0.01217567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01217597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.697632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01217567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.697615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32895 KachelY 32895 0.01217597 -0.01217567 0.697632 -0.697615
    Oben rechts KachelX + 1 32896 KachelY 32895 0.01227185 -0.01217567 0.703125 -0.697615
    Unten links KachelX 32895 KachelY + 1 32896 0.01217597 -0.01227154 0.697632 -0.703107
    Unten rechts KachelX + 1 32896 KachelY + 1 32896 0.01227185 -0.01227154 0.703125 -0.703107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01217567--0.01227154) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01217567--0.01227154) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01217597-0.01227185) × cos(-0.01217567) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999925877445736 × 6371000     		do = 610.806202128035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01217597-0.01227185) × cos(-0.01227154) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999924705597908 × 6371000     		du = 610.805486303055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01217567)-sin(-0.01227154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999925877445736-0.999924705597908)×R²
    abs(0.01227185-0.01217597)×1.17184782810753e-06×R²
    9.58800000000013e-05×1.17184782810753e-06×6371000²
    9.58800000000013e-05×1.17184782810753e-06×40589641000000     		ar = 373072.739777122m²