Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32896 / 32897
↖ ↑ ↗
← S  0.708600°
E  0.703125°		 ← 610.74 m → S  0.708600°
E  0.708618°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.714093°
E  0.703125°		 ← 610.74 m →
373 033 m²		 S  0.714093°
E  0.708618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501960754394531 y=0.501976013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501960754394531 × 216)
    floor (0.501960754394531 × 65536)
    floor (32896.5)     		tx = 32896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501976013183594 × 216)
    floor (0.501976013183594 × 65536)
    floor (32897.5)     		ty = 32897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32896 / 32897 ti = "16/32896/32897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32896/32897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32896 ÷ 216
    32896 ÷ 65536     		x = 0.501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32897 ÷ 216
    32897 ÷ 65536     		y = 0.501968383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501953125 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.003936767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0123677201019745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01227185} λ = 0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0123677201019745))-π/2
    2×atan(0.987708445825308)-π/2
    2×0.779214460988154-π/2
    1.55842892197631-1.57079632675     		φ = -0.01236740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01236740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.708600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32896 KachelY 32897 0.01227185 -0.01236740 0.703125 -0.708600
    Oben rechts KachelX + 1 32897 KachelY 32897 0.01236772 -0.01236740 0.708618 -0.708600
    Unten links KachelX 32896 KachelY + 1 32898 0.01227185 -0.01246327 0.703125 -0.714093
    Unten rechts KachelX + 1 32897 KachelY + 1 32898 0.01236772 -0.01246327 0.708618 -0.714093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01236740--0.01246327) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01236740--0.01246327) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01227185-0.01236772) × cos(-0.01236740) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999923524683386 × 6371000     		do = 610.741059811903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01227185-0.01236772) × cos(-0.01246327) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999922334455797 × 6371000     		du = 610.740332835448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01236740)-sin(-0.01246327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999923524683386-0.999922334455797)×R²
    abs(0.01236772-0.01227185)×1.19022758837684e-06×R²
    9.58699999999996e-05×1.19022758837684e-06×6371000²
    9.58699999999996e-05×1.19022758837684e-06×40589641000000     		ar = 373032.948241493m²