Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 329 / 73
↖ ↑ ↗
← N 77.915669°
E 51.328125°		 ← 16.368 km → N 77.915669°
E 52.031250°		 →
↑
16.466 km
↓
↑
16.466 km
↓
N 77.767582°
E 51.328125°		 ← 16.565 km →
271.148 km²		 N 77.767582°
E 52.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6435546875 y=0.1435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6435546875 × 29)
    floor (0.6435546875 × 512)
    floor (329.5)     		tx = 329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1435546875 × 29)
    floor (0.1435546875 × 512)
    floor (73.5)     		ty = 73
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 329 / 73 ti = "9/329/73"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/329/73.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 329 ÷ 29
    329 ÷ 512     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73 ÷ 29
    73 ÷ 512     		y = 0.142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142578125 × 2 - 1) × π
    0.71484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24574787340039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24574787340039))-π/2
    2×atan(9.44747843288317)-π/2
    2×1.46534064474344-π/2
    2.93068128948688-1.57079632675     		φ = 1.35988496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35988496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.915669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 329 KachelY 73 0.89584478 1.35988496 51.328125 77.915669
    Oben rechts KachelX + 1 330 KachelY 73 0.90811663 1.35988496 52.031250 77.915669
    Unten links KachelX 329 KachelY + 1 74 0.89584478 1.35730036 51.328125 77.767582
    Unten rechts KachelX + 1 330 KachelY + 1 74 0.90811663 1.35730036 52.031250 77.767582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35988496-1.35730036) × R
    0.00258460000000005 × 6371000     		dl = 16466.4866000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35988496-1.35730036) × R
    0.00258460000000005 × 6371000     		dr = 16466.4866000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.90811663) × cos(1.35988496) × R
    0.01227185 × 0.209351158050482 × 6371000     		do = 16367.9018028408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.90811663) × cos(1.35730036) × R
    0.01227185 × 0.21187778260903 × 6371000     		du = 16565.4433070391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35988496)-sin(1.35730036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209351158050482-0.21187778260903)×R²
    abs(0.90811663-0.89584478)×0.00252662455854749×R²
    0.01227185×0.00252662455854749×6371000²
    0.01227185×0.00252662455854749×40589641000000     		ar = 271148393.91536m²