Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32900 / 32908
↖ ↑ ↗
← S  0.769020°
E  0.725098°		 ← 610.80 m → S  0.769020°
E  0.730591°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.774512°
E  0.725098°		 ← 610.80 m →
373 028 m²		 S  0.774512°
E  0.730591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502021789550781 y=0.502143859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502021789550781 × 216)
    floor (0.502021789550781 × 65536)
    floor (32900.5)     		tx = 32900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502143859863281 × 216)
    floor (0.502143859863281 × 65536)
    floor (32908.5)     		ty = 32908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32900 / 32908 ti = "16/32900/32908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32900/32908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32900 ÷ 216
    32900 ÷ 65536     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32908 ÷ 216
    32908 ÷ 65536     		y = 0.50213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0134223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0134223318936157))-π/2
    2×atan(0.986667345926245)-π/2
    2×0.778687198954382-π/2
    1.55737439790876-1.57079632675     		φ = -0.01342193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01342193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.769020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32900 KachelY 32908 0.01265534 -0.01342193 0.725098 -0.769020
    Oben rechts KachelX + 1 32901 KachelY 32908 0.01275122 -0.01342193 0.730591 -0.769020
    Unten links KachelX 32900 KachelY + 1 32909 0.01265534 -0.01351779 0.725098 -0.774512
    Unten rechts KachelX + 1 32901 KachelY + 1 32909 0.01275122 -0.01351779 0.730591 -0.774512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01342193--0.01351779) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01342193--0.01351779) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01275122) × cos(-0.01342193) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999909927249753 × 6371000     		do = 610.796458927213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01275122) × cos(-0.01351779) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.99990863606802 × 6371000     		du = 610.79567020694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01342193)-sin(-0.01351779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999909927249753-0.99990863606802)×R²
    abs(0.01275122-0.01265534)×1.29118173364251e-06×R²
    9.58800000000013e-05×1.29118173364251e-06×6371000²
    9.58800000000013e-05×1.29118173364251e-06×40589641000000     		ar = 373027.852670078m²