Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32902 / 32910
↖ ↑ ↗
← S  0.780005°
E  0.736084°		 ← 610.73 m → S  0.780005°
E  0.741577°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.785498°
E  0.736084°		 ← 610.73 m →
372 988 m²		 S  0.785498°
E  0.741577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502052307128906 y=0.502174377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502052307128906 × 216)
    floor (0.502052307128906 × 65536)
    floor (32902.5)     		tx = 32902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502174377441406 × 216)
    floor (0.502174377441406 × 65536)
    floor (32910.5)     		ty = 32910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32902 / 32910 ti = "16/32902/32910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32902/32910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32902 ÷ 216
    32902 ÷ 65536     		x = 0.502044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32910 ÷ 216
    32910 ÷ 65536     		y = 0.502166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502044677734375 × 2 - 1) × π
    0.00408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01284709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.00433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0136140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01284709} λ = 0.01284709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0136140794920959))-π/2
    2×atan(0.986478172969475)-π/2
    2×0.778591333914701-π/2
    1.5571826678294-1.57079632675     		φ = -0.01361366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01284709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.736084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01361366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.780005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32902 KachelY 32910 0.01284709 -0.01361366 0.736084 -0.780005
    Oben rechts KachelX + 1 32903 KachelY 32910 0.01294296 -0.01361366 0.741577 -0.780005
    Unten links KachelX 32902 KachelY + 1 32911 0.01284709 -0.01370952 0.736084 -0.785498
    Unten rechts KachelX + 1 32903 KachelY + 1 32911 0.01294296 -0.01370952 0.741577 -0.785498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01361366--0.01370952) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01361366--0.01370952) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01284709-0.01294296) × cos(-0.01361366) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999907335561854 × 6371000     		do = 610.731171694464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01284709-0.01294296) × cos(-0.01370952) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999906026002574 × 6371000     		du = 610.730371831672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01361366)-sin(-0.01370952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999907335561854-0.999906026002574)×R²
    abs(0.01294296-0.01284709)×1.30955928023813e-06×R²
    9.58699999999996e-05×1.30955928023813e-06×6371000²
    9.58699999999996e-05×1.30955928023813e-06×40589641000000     		ar = 372987.976783693m²