Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32908 / 32884
↖ ↑ ↗
← S  0.637194°
E  0.769043°		 ← 610.81 m → S  0.637194°
E  0.774536°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.642687°
E  0.769043°		 ← 610.81 m →
373 077 m²		 S  0.642687°
E  0.774536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502143859863281 y=0.501777648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502143859863281 × 216)
    floor (0.502143859863281 × 65536)
    floor (32908.5)     		tx = 32908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501777648925781 × 216)
    floor (0.501777648925781 × 65536)
    floor (32884.5)     		ty = 32884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32908 / 32884 ti = "16/32908/32884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32908/32884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32908 ÷ 216
    32908 ÷ 65536     		x = 0.50213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32884 ÷ 216
    32884 ÷ 65536     		y = 0.50177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50213623046875 × 2 - 1) × π
    0.0042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01342233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.0035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.011121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01342233} λ = 0.01342233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.011121360711853))-π/2
    2×atan(0.988940252999225)-π/2
    2×0.779837597666458-π/2
    1.55967519533292-1.57079632675     		φ = -0.01112113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01342233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01112113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.637194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32908 KachelY 32884 0.01342233 -0.01112113 0.769043 -0.637194
    Oben rechts KachelX + 1 32909 KachelY 32884 0.01351821 -0.01112113 0.774536 -0.637194
    Unten links KachelX 32908 KachelY + 1 32885 0.01342233 -0.01121700 0.769043 -0.642687
    Unten rechts KachelX + 1 32909 KachelY + 1 32885 0.01351821 -0.01121700 0.774536 -0.642687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01112113--0.01121700) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01112113--0.01121700) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01342233-0.01351821) × cos(-0.01112113) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999938160871118 × 6371000     		do = 610.813705476598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01342233-0.01351821) × cos(-0.01121700) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99993709011512 × 6371000     		du = 610.813051403712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01112113)-sin(-0.01121700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999938160871118-0.99993709011512)×R²
    abs(0.01351821-0.01342233)×1.07075599842243e-06×R²
    9.58799999999996e-05×1.07075599842243e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.07075599842243e-06×40589641000000     		ar = 373077.341589375m²