Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32930 / 32994
↖ ↑ ↗
← S  1.241358°
E  0.889893°		 ← 610.64 m → S  1.241358°
E  0.895386°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.246850°
E  0.889893°		 ← 610.64 m →
372 896 m²		 S  1.246850°
E  0.895386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502479553222656 y=0.503456115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502479553222656 × 216)
    floor (0.502479553222656 × 65536)
    floor (32930.5)     		tx = 32930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503456115722656 × 216)
    floor (0.503456115722656 × 65536)
    floor (32994.5)     		ty = 32994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32930 / 32994 ti = "16/32930/32994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32930/32994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32930 ÷ 216
    32930 ÷ 65536     		x = 0.502471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32994 ÷ 216
    32994 ÷ 65536     		y = 0.503448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502471923828125 × 2 - 1) × π
    0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.00689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0216674786282654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01553156} λ = 0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0216674786282654))-π/2
    2×atan(0.978565574924288)-π/2
    2×0.774565271687155-π/2
    1.54913054337431-1.57079632675     		φ = -0.02166578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02166578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.241358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32930 KachelY 32994 0.01553156 -0.02166578 0.889893 -1.241358
    Oben rechts KachelX + 1 32931 KachelY 32994 0.01562743 -0.02166578 0.895386 -1.241358
    Unten links KachelX 32930 KachelY + 1 32995 0.01553156 -0.02176163 0.889893 -1.246850
    Unten rechts KachelX + 1 32931 KachelY + 1 32995 0.01562743 -0.02176163 0.895386 -1.246850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02166578--0.02176163) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02166578--0.02176163) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01553156-0.01562743) × cos(-0.02166578) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999765306169269 × 6371000     		do = 610.644421878504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01553156-0.01562743) × cos(-0.02176163) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999763225074189 × 6371000     		du = 610.643150771081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02166578)-sin(-0.02176163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999765306169269-0.999763225074189)×R²
    abs(0.01562743-0.01553156)×2.08109508026411e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.08109508026411e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.08109508026411e-06×40589641000000     		ar = 372895.948567926m²