Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32932 / 32924
↖ ↑ ↗
← S  0.856902°
E  0.900879°		 ← 610.78 m → S  0.856902°
E  0.906372°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.862394°
E  0.900879°		 ← 610.78 m →
373 020 m²		 S  0.862394°
E  0.906372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502510070800781 y=0.502388000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502510070800781 × 216)
    floor (0.502510070800781 × 65536)
    floor (32932.5)     		tx = 32932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502388000488281 × 216)
    floor (0.502388000488281 × 65536)
    floor (32924.5)     		ty = 32924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32932 / 32924 ti = "16/32932/32924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32932/32924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32932 ÷ 216
    32932 ÷ 65536     		x = 0.50250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32924 ÷ 216
    32924 ÷ 65536     		y = 0.50238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50250244140625 × 2 - 1) × π
    0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.0047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01572330} λ = 0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0149563126814575))-π/2
    2×atan(0.985154977442265)-π/2
    2×0.777920285840868-π/2
    1.55584057168174-1.57079632675     		φ = -0.01495576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01495576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.856902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32932 KachelY 32924 0.01572330 -0.01495576 0.900879 -0.856902
    Oben rechts KachelX + 1 32933 KachelY 32924 0.01581918 -0.01495576 0.906372 -0.856902
    Unten links KachelX 32932 KachelY + 1 32925 0.01572330 -0.01505162 0.900879 -0.862394
    Unten rechts KachelX + 1 32933 KachelY + 1 32925 0.01581918 -0.01505162 0.906372 -0.862394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01495576--0.01505162) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01495576--0.01505162) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01572330-0.01581918) × cos(-0.01495576) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999888164705996 × 6371000     		do = 610.783165245138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01572330-0.01581918) × cos(-0.01505162) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999886726506233 × 6371000     		du = 610.782286718685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01495576)-sin(-0.01505162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999888164705996-0.999886726506233)×R²
    abs(0.01581918-0.01572330)×1.43819976239357e-06×R²
    9.58799999999996e-05×1.43819976239357e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.43819976239357e-06×40589641000000     		ar = 373019.706475188m²