Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32961 / 32959
↖ ↑ ↗
← S  1.049136°
E  1.060180°		 ← 610.75 m → S  1.049136°
E  1.065674°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  1.054628°
E  1.060180°		 ← 610.75 m →
372 999 m²		 S  1.054628°
E  1.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502952575683594 y=0.502922058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502952575683594 × 216)
    floor (0.502952575683594 × 65536)
    floor (32961.5)     		tx = 32961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502922058105469 × 216)
    floor (0.502922058105469 × 65536)
    floor (32959.5)     		ty = 32959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32961 / 32959 ti = "16/32961/32959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32961/32959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32961 ÷ 216
    32961 ÷ 65536     		x = 0.502944946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32959 ÷ 216
    32959 ÷ 65536     		y = 0.502914428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502944946289062 × 2 - 1) × π
    0.005889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01850364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502914428710938 × 2 - 1) × π
    -0.005828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0183118956548615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01850364} λ = 0.01850364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0183118956548615))-π/2
    2×atan(0.98185474836674)-π/2
    2×0.776242727230956-π/2
    1.55248545446191-1.57079632675     		φ = -0.01831087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01850364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.060180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01831087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.049136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32961 KachelY 32959 0.01850364 -0.01831087 1.060180 -1.049136
    Oben rechts KachelX + 1 32962 KachelY 32959 0.01859952 -0.01831087 1.065674 -1.049136
    Unten links KachelX 32961 KachelY + 1 32960 0.01850364 -0.01840673 1.060180 -1.054628
    Unten rechts KachelX + 1 32962 KachelY + 1 32960 0.01859952 -0.01840673 1.065674 -1.054628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01831087--0.01840673) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01831087--0.01840673) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01850364-0.01859952) × cos(-0.01831087) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.999832360703953 × 6371000     		do = 610.749077287923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01850364-0.01859952) × cos(-0.01840673) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.999830600928244 × 6371000     		du = 610.748002326327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01831087)-sin(-0.01840673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999832360703953-0.999830600928244)×R²
    abs(0.01859952-0.01850364)×1.75977570937569e-06×R²
    9.5880000000003e-05×1.75977570937569e-06×6371000²
    9.5880000000003e-05×1.75977570937569e-06×40589641000000     		ar = 372998.828155699m²