Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32962 / 32962
↖ ↑ ↗
← S  1.065612°
E  1.065674°		 ← 610.68 m → S  1.065612°
E  1.071167°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  1.071104°
E  1.065674°		 ← 610.68 m →
372 958 m²		 S  1.071104°
E  1.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502967834472656 y=0.502967834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502967834472656 × 216)
    floor (0.502967834472656 × 65536)
    floor (32962.5)     		tx = 32962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502967834472656 × 216)
    floor (0.502967834472656 × 65536)
    floor (32962.5)     		ty = 32962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32962 / 32962 ti = "16/32962/32962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32962/32962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32962 ÷ 216
    32962 ÷ 65536     		x = 0.502960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32962 ÷ 216
    32962 ÷ 65536     		y = 0.502960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502960205078125 × 2 - 1) × π
    0.00592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01859952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.00592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0185995170525818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01859952} λ = 0.01859952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0185995170525818))-π/2
    2×atan(0.981572386540254)-π/2
    2×0.77609894102102-π/2
    1.55219788204204-1.57079632675     		φ = -0.01859844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01859952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01859844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.065612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32962 KachelY 32962 0.01859952 -0.01859844 1.065674 -1.065612
    Oben rechts KachelX + 1 32963 KachelY 32962 0.01869539 -0.01859844 1.071167 -1.065612
    Unten links KachelX 32962 KachelY + 1 32963 0.01859952 -0.01869430 1.065674 -1.071104
    Unten rechts KachelX + 1 32963 KachelY + 1 32963 0.01869539 -0.01869430 1.071167 -1.071104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01859844--0.01869430) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01859844--0.01869430) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01859952-0.01869539) × cos(-0.01859844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999827054000066 × 6371000     		do = 610.682136698357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01859952-0.01869539) × cos(-0.01869430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999825266662615 × 6371000     		du = 610.681045014501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01859844)-sin(-0.01869430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999827054000066-0.999825266662615)×R²
    abs(0.01869539-0.01859952)×1.7873374509314e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.7873374509314e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7873374509314e-06×40589641000000     		ar = 372957.940820693m²