Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32963 / 32959
↖ ↑ ↗
← S  1.049136°
E  1.071167°		 ← 610.69 m → S  1.049136°
E  1.076660°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  1.054628°
E  1.071167°		 ← 610.68 m →
372 960 m²		 S  1.054628°
E  1.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502983093261719 y=0.502922058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502983093261719 × 216)
    floor (0.502983093261719 × 65536)
    floor (32963.5)     		tx = 32963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502922058105469 × 216)
    floor (0.502922058105469 × 65536)
    floor (32959.5)     		ty = 32959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32963 / 32959 ti = "16/32963/32959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32963/32959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32963 ÷ 216
    32963 ÷ 65536     		x = 0.502975463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32959 ÷ 216
    32959 ÷ 65536     		y = 0.502914428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502975463867188 × 2 - 1) × π
    0.005950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01869539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502914428710938 × 2 - 1) × π
    -0.005828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0183118956548615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01869539} λ = 0.01869539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0183118956548615))-π/2
    2×atan(0.98185474836674)-π/2
    2×0.776242727230956-π/2
    1.55248545446191-1.57079632675     		φ = -0.01831087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01869539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.071167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01831087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.049136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32963 KachelY 32959 0.01869539 -0.01831087 1.071167 -1.049136
    Oben rechts KachelX + 1 32964 KachelY 32959 0.01879126 -0.01831087 1.076660 -1.049136
    Unten links KachelX 32963 KachelY + 1 32960 0.01869539 -0.01840673 1.071167 -1.054628
    Unten rechts KachelX + 1 32964 KachelY + 1 32960 0.01879126 -0.01840673 1.076660 -1.054628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01831087--0.01840673) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01831087--0.01840673) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01869539-0.01879126) × cos(-0.01831087) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999832360703953 × 6371000     		do = 610.685377968212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01869539-0.01879126) × cos(-0.01840673) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999830600928244 × 6371000     		du = 610.684303118731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01831087)-sin(-0.01840673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999832360703953-0.999830600928244)×R²
    abs(0.01879126-0.01869539)×1.75977570937569e-06×R²
    9.58700000000014e-05×1.75977570937569e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×1.75977570937569e-06×40589641000000     		ar = 372959.925482752m²