Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32968 / 33096
↖ ↑ ↗
← S  1.801461°
E  1.098633°		 ← 610.49 m → S  1.801461°
E  1.104126°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.806951°
E  1.098633°		 ← 610.48 m →
372 721 m²		 S  1.806951°
E  1.104126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503059387207031 y=0.505012512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503059387207031 × 216)
    floor (0.503059387207031 × 65536)
    floor (32968.5)     		tx = 32968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505012512207031 × 216)
    floor (0.505012512207031 × 65536)
    floor (33096.5)     		ty = 33096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32968 / 33096 ti = "16/32968/33096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32968/33096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32968 ÷ 216
    32968 ÷ 65536     		x = 0.5030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33096 ÷ 216
    33096 ÷ 65536     		y = 0.5050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5030517578125 × 2 - 1) × π
    0.006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.010009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01917476} λ = 0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0314466061507568))-π/2
    2×atan(0.969042695992061)-π/2
    2×0.76967745111527-π/2
    1.53935490223054-1.57079632675     		φ = -0.03144142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03144142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.801461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32968 KachelY 33096 0.01917476 -0.03144142 1.098633 -1.801461
    Oben rechts KachelX + 1 32969 KachelY 33096 0.01927063 -0.03144142 1.104126 -1.801461
    Unten links KachelX 32968 KachelY + 1 33097 0.01917476 -0.03153725 1.098633 -1.806951
    Unten rechts KachelX + 1 32969 KachelY + 1 33097 0.01927063 -0.03153725 1.104126 -1.806951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03144142--0.03153725) × R
    9.58300000000051e-05 × 6371000     		dl = 610.532930000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03144142--0.03153725) × R
    9.58300000000051e-05 × 6371000     		dr = 610.532930000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01917476-0.01927063) × cos(-0.03144142) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999505759271875 × 6371000     		do = 610.485893807834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01917476-0.01927063) × cos(-0.03153725) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.99950274214758 × 6371000     		du = 610.484050985214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03144142)-sin(-0.03153725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999505759271875-0.99950274214758)×R²
    abs(0.01927063-0.01917476)×3.01712429506829e-06×R²
    9.58700000000014e-05×3.01712429506829e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.01712429506829e-06×40589641000000     		ar = 372721.179203494m²